统计第6讲：矩估计法 | Method of Moments · 练习

1. 指数分布解析#

已知条件：

• 一阶矩：$E(X) = \frac{1}{\lambda}$

• 二阶矩：$E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$

矩估计步骤：

1. 建立方程（使用一阶矩）：

   $\frac{1}{\lambda} = \bar{X}$

2. 解得：

   $\hat{\lambda}_{MOM} = \frac{1}{\bar{X}}$

注：也可用二阶矩联合求解，但一阶矩已足够确定参数

---

2. 均匀分布解析#

(a) 建立方程组

均匀分布的矩特性：

• 一阶矩：$E(X) = \frac{a+b}{2}$

• 二阶矩：$E(X^2) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$

建立矩估计方程：

$$\begin{cases} \frac{a+b}{2} = \bar{X} \\ \frac{a^2 + ab + b^2}{3} = \frac{1}{n}\sum X_i^2 \end{cases}$$

(b) 参数求解

令样本二阶矩 $M_2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2$，联立方程：

1. 由第一式得 $b = 2\bar{X} - a$

2. 代入第二式：

   $\frac{a^2 + a(2\bar{X}-a) + (2\bar{X}-a)^2}{3} = M_2$

   化简得：

$$\hat{a} = \bar{X} - \sqrt{3(M_2 - \bar{X}^2)} \\ \hat{b} = \bar{X} + \sqrt{3(M_2 - \bar{X}^2)}$$

---

3. 二项分布解析#

矩特性：

• 一阶矩：$E(X) = mp$

矩估计过程：

1. 建立方程：

   $mp = \bar{X}$

2. 解得：

   $\hat{p}_{MOM} = \frac{\bar{X}}{m}$

验证：当 $m=1$ 时退化为伯努利分布的矩估计结果