VaR 与 CVaR VaR and CVaR

定义#

VaR 与 CVaR 是两个衡量尾部亏损规模的风险指标。VaR（风险价值）是在给定置信水平和持有期下损失分布的分位数：95% VaR 为 10 万元，意思是在模型假设下，损失不超过 10 万元的概率是 95%。CVaR（条件风险价值）则是损失一旦超过 VaR 时，这些极端损失的平均值。

两者的分工很清楚：VaR 划出一条线，告诉你「多数时候不会亏过这里」；CVaR 看线的另一侧，告诉你「一旦越线，平均会亏多惨」。VaR 对超出部分的形状完全不敏感，这正是 CVaR 存在的理由。

公式#

正态假设下：

历史模拟法：

其中 $\mu$ 是期望收益率，$\sigma$ 是波动率，$z_{1-\alpha}$ 是标准正态分布的左尾分位数，$R$ 是历史收益率序列，$q_{1-\alpha}$ 是其左尾分位数，$V$ 是组合价值。式子前面的负号让两个指标都以正的损失金额报告。

算一笔账#

组合价值 1000 万元，取过去 1000 个交易日的日收益率，用历史模拟法算 95% 的一日 VaR。

把 1000 个日收益从小到大排序，第 50 个（即 5% 分位）是 −2.1%。VaR $= 2.1\% \times 1000 = 21$ 万元。

最差的那 50 天平均收益是 −3.4%。CVaR $= 3.4\% \times 1000 = 34$ 万元。

读法是：约 95% 的交易日里，一天的亏损不会超过 21 万元；但一旦落进那最差的 5%，平均要亏 34 万元，比 VaR 那条线多出 13 万元。只看 VaR 会系统性地低估这 13 万元。

常见问题#

95% VaR 是不是就是最大可能亏损？#

完全不是，这是最危险的误读。VaR 只说明另外 5% 的日子会突破这条线，对突破之后能亏多少一个字都没说。真正需要关心的恰恰是那 5%，所以 CVaR、最大回撤应该和 VaR 一起看。

正态法和历史法该用哪个？#

正态法只需要均值和波动率，计算快、便于外推，但它假设收益服从正态分布，而真实收益的尾部普遍比正态更厚，因此常常低估尾部风险。历史法不做分布假设，直接用真实数据，代价是完全受制于样本——历史上没发生过的极端行情，它一次也算不出来。实务上两个都算，看差距有多大。

置信水平从 95% 提到 99%，两个指标会怎么变？#

都会变大，但 CVaR 通常更敏感。因为置信水平提高等于把关注点更深地推进尾部，而尾部的形状恰恰是 VaR 忽略、CVaR 度量的东西。若两个指标随置信水平的变化幅度差得很多，说明你的收益分布尾部很厚，这本身就是一个值得警惕的信号。