偏度与峰度 Skewness and Kurtosis

定义#

偏度与峰度分别描述分布的不对称程度和尾部厚度。均值和方差只告诉你收益的中心在哪、散得多开，偏度和峰度接着回答两个方差答不上的问题：往哪边偏，以及极端值出现得有多频繁。

偏度为正是右偏，右边尾巴更长，均值大于中位数；为负是左偏，左边尾巴更长。峰度衡量尾部厚薄，正态分布的峰度是 3，所以实践中常用「超额峰度 = 峰度 − 3」：大于 0 是尖峰厚尾，极端值比正态更常见；小于 0 是低峰薄尾。真实的股票日收益通常左偏且超额峰度明显为正。

公式#

其中 $X_i$ 是第 $i$ 个观测值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。两个式子都先把数据标准化，再取三次方或四次方——三次方保留符号，所以能表示方向；四次方永远为正，只放大离中心远的点。超额峰度为 $\text{Kurtosis} - 3$。

算一笔账#

先看偏度。某策略 5 天的日收益是 −3%、−1%、0%、+1%、+8%。均值 $\mu = (−3−1+0+1+8)/5 = 1\%$，偏差为 −4、−2、−1、0、+7，平方和 $16+4+1+0+49 = 70$，方差 $= 70/5 = 14$，标准差 $\sigma = \sqrt{14} \approx 3.74$。偏差的三次方和为 $-64-8-1+0+343 = 270$，除以 $n$ 得 54，再除以 $\sigma^3 = 52.38$，偏度 $\approx 1.03$——明显右偏，收益靠一天大涨撑起来。

再看峰度。另一组 10 天收益里有 8 天是 0%，一天 −5%，一天 +5%。均值为 0，平方和 $25+25=50$，方差 $=5$。四次方和 $625+625=1250$，除以 10 得 125，再除以 $\sigma^4 = 25$，峰度 $= 5$，超额峰度 $= 2$。分布左右对称（偏度为 0），但两天的极端值把尾部撑厚了。

常见问题#

偏度为正是不是意味着策略更好？#

不一定。正偏意味着收益靠少数几次大赚拉动，多数日子略亏，这类曲线心理上更难坚持；负偏则是平时小赚、偶尔一次大亏。两者没有绝对优劣，但要确认你的风控能扛住那条长尾在的那一边。

超额峰度高说明什么？#

说明极端行情比正态分布预测得更频繁。如果风险模型假设收益服从正态，遇到厚尾就会系统性低估极端亏损的概率——这正是很多风险指标在危机中失灵的原因。

怎么判断收益到底是不是正态分布？#

可以做 Jarque-Bera 检验，它同时看偏度和峰度是否与正态一致，原假设是「数据来自正态分布」，p 值小于 0.05 就拒绝它。金融收益数据通常都会被拒绝，所以更实际的做法是直接承认非正态，选择不依赖正态假设的方法。