卡尔曼滤波 Kalman Filter

定义#

卡尔曼滤波是在噪声观测中边预测边修正的估计算法。它假定背后有一个看不见的真实状态在按某个规律演化，而你每期只能拿到一个带噪声的观测；算法先用模型预测状态该在哪里，再拿新观测把预测拉回来一点，如此循环。

在量化里它有两个常见用法。一是当自适应的移动平均：不用挑窗口长度，估计值会自动调整响应速度。二是估时变参数，比如动态 Beta、配对交易里随时间漂移的对冲比率——传统做法要人为定一个滚动窗口，卡尔曼滤波则让参数本身成为被估计的状态。

公式#

预测阶段先推状态和它的不确定性：

更新阶段算出增益，再用观测修正：

其中 $F$ 是状态转移矩阵（状态怎么随时间变），$H$ 是观测矩阵（状态怎么映射成观测），$Q$ 是过程噪声协方差（模型本身有多不靠谱），$R$ 是观测噪声协方差（测量有多脏），$P$ 是估计误差协方差（当前估计有多可信），$z_k$ 是这一期的观测。$K_k$ 就是卡尔曼增益，决定新观测占多大权重。

算一笔账#

用最简单的一维情形：状态是某个价格的「真实水平」，$F = 1$（认为它不怎么变），$H = 1$。设过程噪声 $Q = 0.01$，观测噪声 $R = 1$。

第 $k$ 期开始前，估计值 $\hat{x} = 100$，误差协方差 $P = 0.09$。预测阶段：$\hat{x}_{k|k-1} = 100$，$P_{k|k-1} = 0.09 + 0.01 = 0.10$。

增益 $K = 0.10/(0.10 + 1) = 0.10/1.10 \approx 0.0909$。

这时来了一个观测 $z_k = 103$。修正后 $\hat{x}_k = 100 + 0.0909 \times (103 - 100) = 100 + 0.273 = 100.27$——观测跳了 3 块，估计只往那边挪了 0.27，因为 $R = 1$ 远大于 $P_{k|k-1} = 0.10$，模型比这次测量可信得多。误差协方差更新为 $P_k = (1 - 0.0909) \times 0.10 \approx 0.0909$。

如果把观测噪声调成 $R = 0.01$（相信测量），增益变成 $0.10/0.11 \approx 0.909$，估计会直接跳到 $100 + 0.909 \times 3 \approx 102.7$。同一组数据，$Q$ 与 $R$ 的比值决定了滤波器是钝还是灵敏。

常见问题#

Q 和 R 该怎么设？#

关键不是各自的绝对值，而是 $Q/R$ 这个比值。$Q$ 相对大，说明你认为状态本身在快速变化，滤波器就更追随观测、更灵敏也更抖；$R$ 相对大则更平滑、更滞后。物理系统里 $R$ 可以从测量设备的精度来，金融数据里通常只能靠历史统计估，或者用 EM 算法迭代拟合。

它和移动平均比好在哪？#

移动平均要你先定死一个窗口长度，市场变了窗口也不会自己变。卡尔曼滤波按不确定性动态分配权重：估计越不确定，新观测的话语权越大。而且它是逐点递推的，只需要上一期的估计，不用存整段历史。

它能直接用在非线性关系上吗？#

标准卡尔曼滤波假定状态转移和观测都是线性的、噪声是高斯的。遇到非线性可以换扩展卡尔曼滤波（EKF，靠泰勒展开做局部线性化）或无迹卡尔曼滤波（UKF，用 sigma 点传播分布）。代价是不再有最优性保证，调参也更麻烦。