线性回归 Linear Regression

定义#

线性回归用一条直线刻画自变量对因变量的平均影响。给定自变量 $X$ 和因变量 $Y$，它要找的是最贴合数据的那条直线 $Y = \alpha + \beta X$：截距 $\alpha$ 是 $X$ 为 0 时 $Y$ 的水平，斜率 $\beta$ 是 $X$ 每变动一个单位、$Y$ 平均变动多少。

它和相关系数的差别在于输出。相关系数只给你一个 −1 到 1 之间的强弱数字，回归给的是一个可以用来预测和解释的模型，还能同时容纳多个自变量。在金融里最常见的用法，就是把个股收益对市场收益做回归，斜率就是这只股票的 beta。

公式#

其中 $\epsilon_i$ 是误差项，假设均值为 0。普通最小二乘法（OLS）通过最小化残差平方和 $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \alpha - \beta X_i)^2$ 来求解，闭式解是

这也说明拟合直线一定经过点 $(\bar{X}, \bar{Y})$。系数的不确定性由标准误刻画：

算一笔账#

某只股票 5 期的收益 $Y$ 与同期市场收益 $X$（单位：%）如下：$X = -2, -1, 0, 1, 2$，$Y = -3, -1, 0, 2, 4$。

均值 $\bar{X} = 0$，$\bar{Y} = (−3−1+0+2+4)/5 = 0.4$。$X$ 的偏差就是 $X$ 本身，$Y$ 的偏差是 −3.4、−1.4、−0.4、+1.6、+3.6。

乘积之和 $= 6.8 + 1.4 + 0 + 1.6 + 7.2 = 17$，$X$ 偏差平方和 $= 4+1+0+1+4 = 10$。

于是 $\beta = 17/10 = 1.7$，$\alpha = 0.4 - 1.7 \times 0 = 0.4$。读法是：市场每涨 1%，这只股票平均涨 1.7%，属于对市场高度敏感的品种；市场不动时它平均还有 0.4% 的收益。

常见问题#

R² 高就说明模型好吗？#

不一定。R² 只说明自变量解释了因变量多大比例的波动，它不检验因果、也不保证模型假设成立。用完全随机的两列数据做回归，也有大约 5% 的概率得到看起来显著的结果，所以还要看系数的 p 值和残差诊断。

回归算出来的 beta 是固定的吗？#

不是。把窗口改成滚动的 60 天再重算，会发现 beta 一直在变，公司转型、业务变化和市场环境都会推动它。因此用单一的全样本 beta 做风险管理是危险的，看它随时间怎么走更有信息量。

拟合完就可以直接用了吗？#

不行，先做残差诊断。至少要看残差图有没有明显规律（线性假设）、散布是否均匀（同方差）、是否前后相关（自相关），并注意异常值和时间序列的平稳性问题。假设被违反时，系数本身可能还能用，但显著性检验会失真。