协整 Cointegration

定义#

协整指两个各自漂移的序列，某个线性组合却是平稳的。两条价格曲线各自都可以一路向上、看不出回归到哪里去，但如果把它们按某个比例相减，得到的价差在一条水平线上下来回摆动，这两条序列就是协整的。

协整和相关性是两码事，这是课程反复强调的一点。相关性描述的是短期同涨同跌的程度，协整描述的是长期有没有一条绑住两者的绳子。两只股票可以天天同向波动（高相关）却一个越走越远（不协整）；也可以日度相关不高，但价差始终被拉回（协整）。做统计套利要的是后者。

公式#

协整的定义写成：

即两条序列各自是一阶单整的（差分一次才平稳），但存在一个系数 $\beta$ 让它们的组合直接就平稳。

Engle-Granger 两步法先跑一个 OLS 回归拿到 $\beta$：

其中 $\alpha$ 是常数项，$\beta$ 是协整系数（也就是对冲比率），$\epsilon_t$ 是残差。第二步对残差 $\epsilon_t$ 做 ADF 检验：残差平稳，就认为协整成立。

算一笔账#

假设 X 和 Y 是两个 ETF，三天的收盘价是：X = 100、104、110，Y = 202、210、222。两条都在往上走，各自都不平稳。

先看比例：$202/100 = 2.02$，$210/104 \approx 2.019$，$222/110 \approx 2.018$，大致都是 2。取 $\beta = 2$ 构造价差 $Y_t - 2X_t$：$202 - 200 = 2$，$210 - 208 = 2$，$222 - 220 = 2$。价差稳定在 2 附近，没有跟着价格一起涨——这就是协整的样子。

真实数据会有噪声。若第四天 X = 108、Y = 222，价差变成 $222 - 216 = 6$。价差的历史均值是 2，假设标准差是 1.5，那么 Z-score $= (6-2)/1.5 \approx 2.67$，超过常用的 2 倍阈值，按均值回归的逻辑就是做空 Y、做多 2 份 X，等价差回到 2 附近平仓。

常见问题#

相关系数高的两只股票，能直接拿来做价差交易吗？#

不能。高相关只说明它们短期一起动，不保证价差会回来。课程里的经典反例是两条各自向上漂移的序列，日收益高度相关，但价差越拉越大，做均值回归会一直亏。必须跑协整检验，看残差是不是平稳。

协整检验的 p 值小于 0.05，就可以上策略了吗？#

不够。第一，你很可能筛了上百对组合才找到这一对，需要做多重检验修正，否则纯靠运气也能挑出「显著」的对子。第二，协整 p 值只说明历史上存在均衡关系，推不出扣掉双边成本、点差、冲击和借券费之后还能赚钱。

对冲比率 β 要固定还是每天重估？#

关系会漂移，所以固定比率通常撑不久。常见做法是滚动窗口重估，或者用卡尔曼滤波做动态估计。注意两点纪律：$\beta$ 只能用当时已知的数据估，且信号要延后一期执行，否则回测里会混进未来信息。