平稳性 Stationarity

定义#

平稳性指一段序列的均值和波动不随时间改变。严格一点说，严平稳要求所有统计特性都不随时间变化，实际建模常用的是弱平稳（协方差平稳）：均值恒定、方差恒定，两个时点之间的协方差只取决于它们相隔多远，而不取决于具体是哪一天。

平稳性之所以重要，是因为几乎所有时间序列模型都默认「过去的规律还适用于未来」。股价这种带趋势的序列是非平稳的（课程里叫 I(1)，差分一次才平稳），而它的收益率序列通常是平稳的（I(0)）。所以做建模时先看价格还是先看收益率，往往不是风格问题，而是模型成不成立的问题。

公式#

判断平稳性最常用的是 ADF（Augmented Dickey-Fuller）单位根检验，它拟合这样一个回归：

其中 $\Delta y_t$ 是一阶差分，$\alpha$ 是常数项，$\beta t$ 是时间趋势项，$\gamma$ 是关键的滞后项系数，$p$ 是滞后阶数，$\epsilon_t$ 是误差项。原假设是 $\gamma = 0$（存在单位根，即非平稳）。$\gamma$ 显著为负，说明序列被拉回均值，可以拒绝非平稳。

单整阶数则记作：

即差分 $d$ 次以后才平稳的序列，叫 $d$ 阶单整。

算一笔账#

拿一个人造例子看直觉。序列 A 是 5 个随机数：0.4、−1.2、0.9、−0.3、0.2，均值 $= (0.4-1.2+0.9-0.3+0.2)/5 = 0/5 = 0$，前两个的均值是 $(0.4-1.2)/2 = -0.4$，后两个是 $(-0.3+0.2)/2 = -0.05$，前后半段都在 0 附近晃，没有系统性漂移。

序列 B 在 A 的基础上加一条从 0 到 4 的直线趋势（0、1、2、3、4），变成 0.4、−0.2、2.9、2.7、4.2。前两个的均值是 $(0.4-0.2)/2 = 0.1$，后两个是 $(2.7+4.2)/2 = 3.45$，均值明显随时间抬升——这就是非平稳。

对 B 做一阶差分：$-0.2-0.4=-0.6$、$2.9+0.2=3.1$、$2.7-2.9=-0.2$、$4.2-2.7=1.5$。差分后的四个数均值 $= (-0.6+3.1-0.2+1.5)/4 = 3.8/4 = 0.95$，围绕大约 1（也就是原来的斜率）波动，趋势没了。所以 B 是 I(1)。真实数据当然要靠 ADF 的 p 值判断，而不是眼看。

常见问题#

为什么大家都拿收益率而不是价格来建模？#

因为价格序列通常是非平稳的（I(1)），均值会随时间漂移，在这样的序列上做回归容易得到伪回归——两个毫不相干的上涨序列也能跑出很高的 $R^2$。收益率一般是平稳的，模型估出来的参数才有稳定含义。

ADF 检验的 p 值大于 0.05，是不是就证明序列非平稳？#

不是。ADF 的原假设是「存在单位根」，p 值大只能说无法拒绝原假设，不等于证明了非平稳。这也是课程里建议再跑一个 KPSS 的原因：KPSS 的原假设反过来是平稳，两个检验结论一致时才比较踏实。

检验说是平稳的，用起来还会失效吗？#

会。ADF 假定的是线性趋势、没有结构突变。市场制度变化、政策转向、成分股调整都会造成结构断点，这时全样本检验可能仍然通过，但关系已经变了。实务上要用滚动窗口反复检验，而不是在全样本上拟合一次就当结论。