自相关 Autocorrelation

定义#

自相关是一个序列与自己滞后若干期之间的相关程度。把序列往后挪 $k$ 期，再和原序列算相关系数，得到的就是滞后 $k$ 阶的自相关。它回答的是「今天的值里，有多少能从昨天（或前 $k$ 天）推出来」。

自相关是 AR（自回归）模型的基础：AR 模型直接把历史值当自变量做回归。它也是一条重要的警报线——很多统计方法默认样本之间独立，一旦存在自相关，方差就会被低估，置信区间画得过窄，看起来显著的结果其实没那么可靠。

公式#

滞后 $k$ 阶的自相关系数定义为：

其中 $\gamma_k$ 是间隔 $k$ 期的自协方差，$\gamma_0$ 就是方差。$\rho_0$ 恒等于 1，$\rho_k$ 取值在 $-1$ 到 $1$ 之间。

这个定义要成立，序列必须协方差平稳：均值恒定、方差恒定、$\mathrm{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \gamma_k$ 只与间隔 $k$ 有关。AR(p) 模型则写成：

其中 $\varphi_i$ 是自回归系数，$\epsilon_t$ 是白噪声。滞后阶数 $p$ 通常靠 PACF 图和 AIC、BIC 信息准则来定。

算一笔账#

取一个 AR(1) 序列 $X_t = 0.5 X_{t-1} + \epsilon_t$，看看自相关随滞后阶数怎么衰减。

对 AR(1)，$\rho_k = \varphi^k$。所以 $\rho_1 = 0.5$，$\rho_2 = 0.5^2 = 0.25$，$\rho_3 = 0.125$，$\rho_4 = 0.0625$。到第 4 阶已经不足 0.07，几乎看不出来了——记忆是指数级褪色的。

再看这对预测的意义。$\rho_1 = 0.5$ 意味着用昨天预测今天，能解释的方差比例是 $\rho_1^2 = 0.25$，也就是 25%，剩下 75% 仍然是噪声。而如果换成股票日收益，实际的一阶自相关往往只有 0.03 左右，$0.03^2 = 0.0009$，解释力不到千分之一。这就是为什么日收益的 AR 模型在扣掉交易成本后基本不剩什么。

常见问题#

ACF 和 PACF 有什么区别，看哪个定阶？#

ACF 是总的自相关，里面混着间接影响——$X_{t-2}$ 通过 $X_{t-1}$ 传导过来的部分也算进去了。PACF（偏自相关）把中间层剥掉，只看直接影响。所以定 AR 的阶数 $p$ 主要看 PACF 在第几阶之后截断，ACF 更多用来判断 MA 结构和整体衰减形态。

收益率有自相关，是不是就能预测赚钱？#

先看幅度。自相关的 p 值可能显著，但系数往往小到解释力不足 1%，扣掉双边成本和滑点就没了。而且这类关系很不稳定，样本内成立、样本外消失是常态。显著和可交易是两件事。

有自相关时，为什么说风险会被低估？#

因为标准的方差公式假定样本独立。正自相关意味着涨了还倾向于涨、跌了还倾向于跌，实际的累积波动比独立假设算出来的大。用朴素方差估计出的置信区间会偏窄，回撤和尾部风险也会被系统性低估。