相关系数是什么

定义#

相关系数是衡量两个变量线性关系强弱的标准化指标。它的取值固定在 −1 到 +1 之间：+1 是完全正相关，−1 是完全负相关，0 表示没有线性关系。

它其实就是协方差除以两个变量的标准差。协方差也能反映两个变量是否同向变动，但它带量纲、取值范围没有上下界，两组协方差之间没法直接比大小。相关系数把量纲除掉之后，任意两对变量的关系强弱才能放在同一把尺子上比较。

\rho_{X,Y} = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

其中 $\operatorname{cov}(X,Y)$ 是 $X$ 与 $Y$ 的协方差， $\sigma_X$ 、 $\sigma_Y$ 分别是两者的标准差。展开写就是

\rho_{X,Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}

假设两只股票 5 期的收益分别是 $X = 1, 2, 3, 4, 5$ 和 $Y = 2, 4, 5, 4, 5$ （单位：%）。

均值 $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 4$ 。 $X$ 的偏差是 −2、−1、0、+1、+2， $Y$ 的偏差是 −2、0、+1、0、+1。

乘积之和 $= 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6$ 。 $X$ 偏差平方和 $= 4+1+0+1+4 = 10$ ， $Y$ 偏差平方和 $= 4+0+1+0+1 = 6$ 。

于是 $\rho = 6 / \sqrt{10 \times 6} = 6/\sqrt{60} \approx 6/7.75 \approx 0.77$ 。两者同向变动明显，但远不是完全同步—— $Y$ 中间那两期的回落把系数拉了下来。

要小心。相关性会随时间变化，市场平静期低相关的资产在危机中经常一起跌。实际做法是看滚动相关系数而不是全样本的单一数字，并结合 p 值确认这个估计本身是否显著。