GARCH GARCH

定义#

GARCH 是用过去的冲击和波动预测当前波动的模型。全称是广义自回归条件异方差（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity），它把「今天的波动率有多大」当成一个可以被历史解释的变量，而不是一个固定常数。

它要处理的现象是波动聚集：市场剧烈的日子往往扎堆出现，平静的日子也扎堆出现。它的前身 ARCH 只用过去的残差平方来解释当前方差，需要很多个滞后项才够；GARCH 在此基础上加进了方差自身的滞后项，用两三个参数就能刻画同样长的记忆，因此参数更省、更常用。

公式#

ARCH(p) 只看过去的冲击：

GARCH(1,1) 再加一项昨天的条件方差：

其中 $\sigma_t^2$ 是 $t$ 时刻的条件方差，$\omega$ 是常数项，$\epsilon_{t-1}^2$ 是上一期残差的平方（昨天的意外有多大），$\alpha$ 是它的权重，$\sigma_{t-1}^2$ 是上一期的条件方差，$\beta$ 是它的权重。要求 $\alpha, \beta \ge 0$ 且 $\alpha + \beta < 1$，否则波动率会发散、模型没有长期均值。参数一般用最大似然估计（MLE）来定。

算一笔账#

用课程里的参数：$\omega = 1.0$、$\alpha = 0.1$、$\beta = 0.8$。

长期方差是 $\omega/(1 - \alpha - \beta) = 1.0/(1 - 0.9) = 1.0/0.1 = 10$，对应长期波动率 $\sqrt{10} \approx 3.16$。

假设昨天条件方差 $\sigma_{t-1}^2 = 10$（正处在长期水平），但收到了一个不小的冲击 $\epsilon_{t-1} = 6$，则今天：

波动率从 3.16 抬到 $\sqrt{12.6} \approx 3.55$。再往后做多期预测时，未来冲击的期望值就是当期方差本身，递推变成 $\sigma_{t+1}^2 = \omega + (\alpha+\beta)\sigma_t^2$：下一期是 $1.0 + 0.9 \times 12.6 = 12.34$，再下一期 $1.0 + 0.9 \times 12.34 \approx 12.11$——一次冲击抬起来的波动，会以每期乘 $\alpha + \beta = 0.9$ 的速度慢慢衰回 10 附近。这就是波动聚集的数学形态。

常见问题#

GARCH 能预测涨跌吗？#

不能。它建模的是波动的大小，不是方向。$\sigma_t$ 变大只说明明天的振幅可能更大，涨跌各半。它的用武之地在风险度量、仓位缩放和期权定价，不是择时信号。

α 和 β 分别该怎么读？#

$\alpha$ 是对最新一次冲击的敏感度，越大说明波动率对突发事件反应越猛；$\beta$ 是记忆的持久度，越大说明高波动状态拖得越久。两者之和越接近 1，波动回到长期均值的速度越慢；等于或超过 1，模型就不平稳了。

怎么知道数据到底需不需要 GARCH？#

先做 ARCH 效应检验：把残差平方对它自己的若干滞后项做回归，用 $TR^2$ 与卡方分布比较。原假设是不存在 ARCH 效应，p 值很小就可以拒绝它，说明波动确实随时间聚集，值得上 GARCH。反过来 p 值大只是无法拒绝原假设，不等于证明了同方差。