异方差 Heteroskedasticity

定义#

异方差指回归误差项的方差不恒定，会随条件变化。线性回归的标准假设之一是同方差：不管自变量取什么值，误差的散布程度都一样。现实里这条经常不成立，比如市场平静期个股偏离拟合线很少，动荡期一下子偏离很多。

异方差的后果很具体：系数估计本身仍然是无偏的，也就是平均而言没有系统性偏差；但估计不再是最有效的，更麻烦的是标准误算错了。标准误一错，t 值、p 值、置信区间跟着错，你会对一个其实不可靠的系数信心十足。

公式#

同方差假设写作 $\operatorname{var}(\epsilon_i) = \sigma^2$ 对所有 $i$ 成立；异方差就是 $\operatorname{var}(\epsilon_i) = \sigma_i^2$ 随观测而变。

常用的诊断是 Breusch-Pagan 检验，做法是：先用 OLS 估计原模型得到残差，再用残差的平方对自变量做回归，然后计算 LM 统计量

其中 $ESS$ 是第二个回归的解释平方和，$k$ 是自变量个数。原假设是「同方差」，p 值小于 0.05 就拒绝它，认定存在异方差。

算一笔账#

假设把某只股票的收益对市场收益回归，得到 10 期残差。前 5 期市场平静，残差是 −0.5、+0.5、−0.5、+0.5、−0.5；后 5 期市场动荡，残差是 −2、+2、−2、+2、−2（单位：%）。

前半段残差平方的均值 $= (0.25 \times 5)/5 = 0.25$；后半段 $= (4 \times 5)/5 = 4$。

两段的残差方差相差 16 倍。如果直接用全样本的普通标准误，等于把两种截然不同的不确定性平均成一个数——对平静期高估了误差，对动荡期严重低估了误差，而后者恰恰是你最需要判断准确的时候。

常见问题#

有了异方差，回归结果还能用吗？#

系数本身还能用，它仍然是无偏的。不能直接用的是显著性结论：p 值和置信区间建立在标准误上，标准误错了它们就都不可信。最省事的补救是改用稳健标准误（例如 HC3），系数不变，只把误差估计换成对异方差稳健的版本。

怎么知道自己的模型有没有异方差？#

先看残差图：残差随预测值变大而呈喇叭口散开，就是典型信号。再做 Breusch-Pagan 检验确认，p 值小于 0.05 说明存在异方差；p 值大只是无法拒绝同方差，不等于证明了同方差。

除了稳健标准误，还有别的办法吗？#

有。对正数数据做对数变换常能压平方差；分布偏离正态时可以试 Box-Cox 变换，但要注意 λ 需要优化选择，而且系数解释要做逆变换；时间序列数据可以考虑差分，代价是改变了数据的含义和长度。