斯皮尔曼等级相关是什么

定义#

斯皮尔曼等级相关用排名衡量两个变量的单调关系强弱。它先把每个变量的原始数值换成名次，再对这两组名次算普通的相关系数，所以只关心「谁排在谁前面」，不关心具体差多少。

这带来两个好处：它不要求两个变量呈线性关系，只要方向一致（单调）就能捕捉到；而且因为极端值被压缩成一个名次，它对异常值远比皮尔逊相关系数稳健。代价是丢掉了数值的幅度信息。在因子研究里，用因子值排名和未来收益排名算出来的等级相关，就是常说的信息系数。

在没有并列名次的情况下：

\rho = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2-1)}

其中 $d_i$ 是第 $i$ 对观测值的两个名次之差， $n$ 是样本量。出现相同数值时用平均等级法：把这几个位次的名次取平均后共同赋值（例如并列第 3、4 名都记作 3.5）。

两个变量各 5 个观测： $X = 10, 9, 5, 7, 5$ ， $Y = 20, 17, 11, 15, 13$ 。

给 $X$ 排名（从小到大），两个 5 并列占据第 1、2 位，各记 1.5，于是名次是 5、4、1.5、3、1.5。 $Y$ 没有并列，名次是 5、4、1、3、2。

名次差 $d$ 为 0、0、+0.5、0、−0.5，平方和 $\sum d_i^2 = 0.25 + 0.25 = 0.5$ 。

代入公式： $\rho = 1 - \dfrac{6 \times 0.5}{5 \times (25-1)} = 1 - \dfrac{3}{120} = 0.975$ 。名次几乎完全一致，只有并列造成的一点点错位。

数据不服从正态分布、存在明显异常值，或者你相信两者的关系是单调但不一定是直线时，用等级相关更稳妥。反过来，如果你关心的就是「涨 1% 带动多少」这种幅度关系，皮尔逊相关系数更合适。

样本太少时名次相关很容易偶然变得很高。一般建议至少 5 个观测才算得动，20 个以上结果才比较稳定；同时看它给出的 p 值，判断这个数字是不是碰巧。

用平均等级法，把并列的几个位次的名次取平均后一起赋给它们。也有取最小、最大或随机分配的做法，但平均等级最常用，也最不容易引入方向性偏差。