置信区间 Confidence Interval

定义#

置信区间是根据样本给出的总体参数可能落在的范围。样本均值只是一个点估计，它几乎不可能正好等于真实的总体均值；置信区间在这个点两边加上一段宽度，用来表达估计的不确定性有多大。

它最常被误读成「真实均值有 95% 的概率落在这个区间里」。正确的说法是：在反复抽样的意义下，用同样方法构造的区间里有 95% 会包含真实均值。区别在于，真实均值是一个固定的数，随机的是区间本身。

公式#

区间的宽度由标准误决定：

其中 $s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。样本量越大，标准误越小，区间越窄。

样本量较大（$n > 30$）时用正态临界值：

样本量较小（$n \le 30$）时改用自由度为 $n-1$ 的 t 分布临界值：

95% 置信水平下 $Z_{\alpha/2} = 1.96$。

算一笔账#

某只股票 100 个交易日的日收益，样本均值 0.05%，样本标准差 1%。

标准误 $SE = 1\%/\sqrt{100} = 0.1\%$。

95% 置信区间为 $0.05\% \pm 1.96 \times 0.1\%$，即 $0.05\% \pm 0.196\%$，也就是 $[-0.146\%,\ 0.246\%]$。

这个区间横跨 0，说明在 95% 的置信水平下还不能断定这只股票的日均收益不为零。要把区间收窄到不含 0，要么积累更多样本，要么收益本身足够大。

常见问题#

置信区间和 p 值是什么关系？#

两者是一枚硬币的两面。95% 置信区间如果不包含原假设的值，双尾检验在 0.05 水平上就会拒绝原假设；包含了则无法拒绝。区间比 p 值多给了一个信息——效应可能有多大，所以报告结果时它往往更有用。

为什么小样本要用 t 分布？#

因为小样本下用样本标准差替代总体标准差带来的额外不确定性不能忽略。t 分布比正态分布尾部更厚，给出的临界值更大、区间更宽，正好补偿这份不确定性。样本量变大后 t 分布会逐渐逼近正态分布。

金融数据用这套公式有什么坑？#

有两个。一是收益率常有自相关，普通标准误会低估不确定性，需要用 Newey-West 之类的调整；二是收益分布偏态且厚尾，即使样本量超过 30，正态近似也可能不准。构造区间前先做正态性检验和自相关检验，别直接套公式。