第5讲 向量空间II（Vector Spaces II）

1. 线性无关 (Linearly Independent)

1.1 定义

对于集合 $S = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_k \} \subset \mathbb{R}^n$，若方程

仅有零解$c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$，则称 S 为线性无关集。否则称为线性相关集。

关键性质

• 包含零向量的集合必线性相关
  若
  $\mathbf{0} \in S \subset \mathbb{R}^n$，则 S 线性相关。

• 扩展无关集
  若
  $\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}k$ 线性无关，且 $\mathbf{u}{k+1}$不是它们的线性组合，则扩展后的集合仍线性无关。

1.2 判定方法

几何视角

• 在 $\mathbb{R}^n$ 中：
  • 2个向量线性相关 ⇨ 共线
  • 3个向量线性相关 ⇨ 共面

• 维度限制：若 k > n，则$\mathbb{R}^n$ 中任意 k 个向量必线性相关。

代数判定

• 线性相关性测试
  将向量作为列向量构造矩阵 A，通过行简化判断秩是否小于列数。
  

例子

判断集合 $S = \{ (1,2), (3,4) \}$ 是否线性无关：

构造方程 $c_1(1,2) + c_2(3,4) = (0,0)$，解得 $c_1 = 0, c_2 = 0$，故线性无关。

2. 基 (Basis)

2.1 定义

集合 $S = \{ \mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k \}$ 称为向量空间 V 的基，若满足：

1. 线性无关性

2. 生成空间： $\text{span}(S) = V$

2.2 坐标向量 (Coordinate Vector)

若 S 是 V 的基，则任意 $\mathbf{v} \in V$ 可唯一表示为：

称 $(\mathbf{v})_S = (c_1, \dots, c_k)$ 为 $\mathbf{v}$关于基 S 的坐标向量。

标准基 (Standard Basis)

在 $\mathbb{R}^n$ 中，标准基为 $\{ \mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n \}$，其中 $\mathbf{e}_i$第 i 个分量为1，其余为0。

3. 维数 (Dimension)

3.1 定义

向量空间 V 的维数$\dim(V)$ 是其基中向量的个数。零空间的维数定义为0。

3.2 重要性质

• 极大无关性：若 $\dim(V) = k$，则：
  • 超过 k 个向量的集合必线性相关
  • 少于 k 个向量的集合无法生成 V

例子

• $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$

• 平面 $2x - y + z = 0$的维数为2

4. 应用例题

例1：判断集合的生成与无关性

题目：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$线性无关，判断集合 $S_4 = \{ \mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w} \}$ 是否线性无关。

解法：

1. 设 $a\mathbf{u} + b(\mathbf{u}+\mathbf{v}) + c(\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \mathbf{0}$

2. 整理得：$(a+b+c)\mathbf{u} + (b+c)\mathbf{v} + c\mathbf{w} = \mathbf{0}$

3. 由线性无关性得方程组：
   
   
   $\begin{cases} a + b + c = 0 \\ b + c = 0 \\ c = 0 \end{cases}$
   
   

4. 解得 $a = b = c = 0$，故 $S_4$ 线性无关。

5. 学习建议

5.1 理解核心概念

• 线性无关：强调“唯一表示”和“无冗余”

• 基与坐标：理解坐标是相对于基的表示方式

5.2 练习技巧

• 几何直观：将代数问题与几何图形（如直线、平面）关联

• 反例法：通过构造反例验证命题真假（如练习3.24）

5.3 常见错误

• 混淆集合与空间：如误认为$\mathbb{R}^2 是 \mathbb{R}^3$ 的子空间

• 忽略维度限制：例如在$\mathbb{R}^3$ 中尝试用4个向量作为基

附：练习合集