第6讲 向量空间关联矩阵（Vector Spaces associated Matrices）

1. 向量空间的维度 (Dimension of Vector Spaces)

1.1 基本定理与定义

定理 (基的规模限制定理)

设向量空间 $V$ 有含 $k$ 个向量的基，则：

1. $V$ 中任何含超过 $k$ 个向量的子集必然线性相关

2. $V$ 中任何含少于 $k$ 个向量的子集不可能张成 $V$

定义 (维度)

向量空间 $V$ 的维度 $\dim(V)$ 定义为：

• $V$ 的基所含向量的个数

• 特别地，零空间 $\{\mathbf{0}\}$ 的维度定义为 $0$

定理 (基的判定定理)

设 $V$ 是维度为 $k$ 的向量空间，$S \subseteq V$，则以下等价：

1. $S$ 是 $V$ 的基

2. $S$ 线性无关且 $|S|=k$

3. $S$ 张成 $V$ 且 $|S|=k$

1.2 典型例题

例题 1 判断向量组是否为基

设 $\{u_1, u_2, u_3\}$ 是向量空间 $V$ 的基，判断以下是否构成基：

(a) $v_1=u_1$, $v_2=u_1+u_2$, $v_3=u_1+u_2+u_3$

(b) $v_1=u_1-u_2$, $v_2=u_2-u_3$, $v_3=u_3-u_1$

解法

(a) 设 $c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0$，代入得：

$(c_1+c_2+c_3)u_1 + (c_2+c_3)u_2 + c_3u_3 = 0$

由基的线性无关性得方程组：

$\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 0 \\ c_2 + c_3 = 0 \\ c_3 = 0 \end{cases}$

解得
$c_1=c_2=c_3=0$，故线性无关。因 $\dim(V)=3$，故构成基。

(b) 观察到 $v_1 + v_2 + v_3 = 0$，说明线性相关，故不构成基。

2. 矩阵可逆性等价条件 (Equivalence of Matrix Invertibility)

2.1 核心定理

定理 对 $n \times n$ 矩阵 $A$，以下等价：

1. $A$ 可逆

2. 齐次方程组 $A\mathbf{x}=0$ 仅有零解

3. $A$ 的简化行阶梯形 (RREF) 是单位矩阵

4. $A$ 可表示为初等矩阵的乘积

5. $\det(A) \neq 0$

6. 行向量构成 $\mathbb{R}^n$ 的基

7. 列向量构成 $\mathbb{R}^n$ 的基

2.2 几何解释

• 条件 (6)-(7)：矩阵的行/列空间维度为 $n$，即满秩

• 条件 (2)：零空间维度为 $0$

• 秩-零度定理：$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$

3. 坐标与过渡矩阵 (Coordinates and Transition Matrices)

3.1 基本概念

定义 (坐标向量)

设 $S = \{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k\}$ 是向量空间 $V$ 的基，对 $\mathbf{v} = c_1\mathbf{u}_1 + \cdots + c_k\mathbf{u}_k$：

• 坐标向量：$[\mathbf{v}]_S = \begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_k\end{pmatrix}$

定义 (过渡矩阵)

设 $S = \{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k\}$ 和 $T$ 是 $V$ 的两个基，则过渡矩阵 $P$ 满足：

3.2 重要性质

1. 过渡矩阵 $P$ 可逆

2. $P^{-1}$ 是 $T$ 到 $S$ 的过渡矩阵

例题 2 求过渡矩阵

已知 $S = \{u_1, u_2, u_3\}$ 和 $T = \{v_1, v_2, v_3\}$，其中：


$\begin{aligned} v_1 &= u_1 + u_2 + u_3 \\ v_2 &= u_2 + u_3 \\ v_3 &= u_2 - u_3 \end{aligned}$

求从
$S$ 到 $T$ 的过渡矩阵。

解法

将 $v_i$ 用 $u_j$ 表示后，构建矩阵：


$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

通过求逆得
$P^{-1}$ 即为所求。

4. 行空间与列空间 (Row and Column Spaces)

4.1 基本性质

定理

1. 行等价矩阵有相同的行空间

2. 行变换保持列的相关性：若 $A \sim B$，则：
   • $A$ 的某组列线性无关 $\iff B$ 对应列线性无关
   • $A$ 的某组列构成列空间的基 $\iff B$ 对应列构成列空间的基

4.2 应用举例

例题 3 确定矩阵的秩

对矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{pmatrix}$，分析其秩的可能值。

解法 通过高斯消元得：


$\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 0 & -(a-1)(a+2) \end{pmatrix}$

• 当 $a=1$ 时，秩为 $1$

• 当 $a=-2$ 时，秩为 $2$

• 其他情况秩为 $3$

5. 秩与零度理论 (Rank-Nullity Theorem)

5.1 核心定理

秩-零度定理 对 $m \times n$ 矩阵 $A$：

重要推论

1. $\text{rank}(AB) \leq \min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$

2. 可逆矩阵不改变秩：$\text{rank}(PAQ) = \text{rank}(A)$（当 $P,Q$ 可逆时）

3. 子矩阵的秩不超过原矩阵

5.2 典型应用

例题 4 矩阵秩的性质

证明：$\text{rank}(A + B) \leq \text{rank}(A) + \text{rank}(B)$

证明 构造分块矩阵：


$\text{rank}\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix} = \text{rank}(A) + \text{rank}(B)$
通过初等变换可得：


$\text{rank}\begin{pmatrix}A & A+B \\ 0 & B\end{pmatrix} \geq \text{rank}(A+B)$
结合两者即得证。

6. 学习建议与练习

6.1 学习策略

1. 理解维度概念：通过几何直观（如 $\mathbb{R}^3$ 的维度）辅助理解抽象定义

2. 掌握矩阵操作：熟练进行高斯消元、求逆矩阵等基本操作

3. 多做维度判定练习：如判断向量组是否构成基、计算空间维度

6.2 推荐练习

1. 验证不同矩阵的秩与零度关系

2. 计算复杂向量空间的过渡矩阵

3. 分析参数化矩阵的秩变化规律

关键术语对照

• 向量空间 (Vector Space)

• 基 (Basis)

• 维度 (Dimension)

• 过渡矩阵 (Transition Matrix)

• 秩 (Rank)

• 零度 (Nullity)

附：练习合集