第4讲向量空间I（Vector Spaces I）

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一、基本概念

1.1 n维向量与欧几里得空间

n维向量（n-vector）定义为：

\mathbf{u} = (u_1, u_2,...,u_n),\ u_i \in \mathbb{R}

所有n维实向量构成的集合称为欧几里得n维空间（Euclidean n-space），记作：

\mathbb{R}^n = \{ (u_1,...,u_n) \ | \ u_i \in \mathbb{R} \}

1.2 集合表示方法

对于 $\mathbb{R}^n$ 的子集，有两种表示方式：

隐式表示（Implicit form）：

\{ (x_1,...,x_n) \ | \ a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = b \}

显式表示（Explicit form）：

\{ \mathbf{p} + t_1\mathbf{v}_1 + \cdots + t_k\mathbf{v}_k \ | \ t_i \in \mathbb{R} \}

示例1（三维空间平面）：

隐式： $ax + by + cz = d$

显式： $\left( \frac{d - s - t}{a}, s, t \right),\ s,t \in \mathbb{R}$

二、子空间（Subspace）

2.1 核心定义

子空间 $V \subset \mathbb{R}^n$ 必须满足：

零向量存在性： $\mathbf{0} \in V$

封闭性：
- 加法封闭： $\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in V,\ \mathbf{u}+\mathbf{v} \in V$
- 标量乘法封闭： $\forall c \in \mathbb{R},\ \mathbf{u} \in V,\ c\mathbf{u} \in V$

2.2 生成子空间（Linear Span）

对于向量集 $S = \{\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_k\}$ ，其生成子空间定义为：

\text{span}(S) = \{ c_1\mathbf{u}_1 + \cdots + c_k\mathbf{u}_k \ | \ c_i \in \mathbb{R} \}

任何齐次线性方程组的解集都是子空间。

三、子空间判定方法

3.1 三大判定法

生成集法：找到生成集合 $S$ 使得 $V = \text{span}(S)$

公理验证法：直接验证零向量存在性与封闭性

方程组法：证明 $V$ 是某个齐次线性方程组的解集

示例2（练习3.7）：
判断
$W = \{ (w,x,y,z) \ | \ wx = yz \}$ 是否为子空间

解答：
取
$\mathbf{u}=(1,0,0,1)$ 和 $\mathbf{v}=(0,1,0,1)$ ，虽然 $\mathbf{u},\mathbf{v} \in W$ ，但：

$\mathbf{u}+\mathbf{v} = (1,1,0,2) \Rightarrow 1×1 \neq 0×2$
故
$W$ 不满足加法封闭性，不是子空间。

重要应用实例

矩阵列空间

设$A$为 $m×n$ 矩阵，列空间（Column Space）定义为：

\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{u} \ | \ \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n \}

定理：

$\text{Col}(A)$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间

列空间等于矩阵列向量的生成空间

特征空间

对于矩阵 $A$ ，满足 $A\mathbf{u} = \mathbf{u}$ 的向量构成：

V = \{ \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n \ | \ (A-I)\mathbf{u} = \mathbf{0} \}

这显然是齐次方程组的解空间，必为子空间。

学习建议

理解维度关系：二维空间中的直线需要1个参数，三维空间中的平面需要2个参数

典型反例记忆：
- 包含"or"条件的集合通常不是子空间
- 非线性方程（如 $z^2$ ）必然破坏封闭性

练习策略：先尝试用方程组法，再练习生成集构造

练习题推荐：

基础：练习（显/隐式转换）

进阶：练习（生成空间的等价证明）

附：练习合集

练习

第3讲矩阵II（Matrices II）

第5讲向量空间II（Vector Spaces II）