练习

练习1：线性相关性判断

判断以下向量集合是否线性无关：

1. $S_1 = \{ (1,2,3), (4,5,6), (2,1,0) \} \subset \mathbb{R}^3$

2. $S_2 = \{ (1,0,1), (0,1,1), (1,1,0) \} \subset \mathbb{R}^3$

练习2：坐标向量计算

设基 $B = \{ (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) \} \subset \mathbb{R}^3$，求向量$\mathbf{v} = (2,3,4)$ 在基 B 下的坐标向量 $(\mathbf{v})_B$。

练习3：子空间交集的维数

设 $V = \text{span}\{ (1,2,3), (1,0,1) \}$ 和$W = \text{span}\{ (2,1,4), (0,1,2) \} \subset \mathbb{R}^3$，求$\dim(V \cap W)$。

练习4：矩阵变换与线性无关

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，向量 $\mathbf{u} = (1,1), \mathbf{v} = (2,0) \in \mathbb{R}^2$。

证明：若$\{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \}$ 线性无关，则$\{ A\mathbf{u}, A\mathbf{v} \}$也线性无关。

练习5：命题判断

判断以下命题的真假，并说明理由：

1. 若 $\{ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \} \subset \mathbb{R}^4$ 线性无关，则 $\text{span}\{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \}$是 $\mathbb{R}^4$ 的子空间。

2. 任何 $\mathbb{R}^3$ 的二维子空间都可以由三个向量生成。

答案与解析

练习1答案

1. 线性相关
   • 构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix}$，行简化后第三行出现零行，秩为2 < 3。

2. 线性无关
   • 构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，行列式 $\det(A) = -2 \neq 0$。

练习2答案

设$(2,3,4) = c_1(1,1,0) + c_2(0,1,1) + c_3(1,0,1)$，解得方程组：

$\begin{cases} c_1 + c_3 = 2 \\ c_1 + c_2 = 3 \\ c_2 + c_3 = 4 \end{cases}$

解得
$c_1 = 1, c_2 = 2, c_3 = 1$，故 $(\mathbf{v})_B = (1,2,1)$。

练习3答案

1. 计算 V 和 W 的基：
   • V 的基为 $\{ (1,2,3), (1,0,1) \}$（已线性无关）
   • W 的基为$\{ (2,1,4), (0,1,2) \}$（已线性无关）

2. 联立方程求 $V \cap W$ 的公共解，发现 $V \cap W$ 由向量 $(1,1,2)$ 生成，故 $\dim(V \cap W) = 1$。

练习4答案

1. 计算 $A\mathbf{u} = (3,7)，A\mathbf{v} = (2,6)$。

2. 构造线性组合 $c_1(3,7) + c_2(2,6) = (0,0)$，得方程组：
   
   
   $\begin{cases} 3c_1 + 2c_2 = 0 \\ 7c_1 + 6c_2 = 0 \end{cases}$
   
   

3. 行列式 $\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} = 4 \neq 0$，仅有零解，故 $\{ A\mathbf{u}, A\mathbf{v} \}$线性无关。

练习5答案

1. 真
   • $\text{span}\{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \}$是$\mathbb{R}^4$的二维子空间。

2. 假
   • 二维子空间只需两个线性无关向量即可生成，三个向量必然线性相关。