第4讲 导数（Derivatives）

1. 导数的定义与几何意义

1.1 导数的定义

设函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$a$处取得增量$h$时，若极限

存在，则称$f(x)$在点$a$处可导，该极限值称为$f(x)$在$a$处的导数。记作：

学习建议：通过物理中的瞬时速度（位移变化率）和几何中的切线斜率理解导数概念。

1.2 切线方程

函数$y=f(x)$在点$(a, f(a))$处的切线方程为：

示例：求$f(x)=x^2$在$x=1$处的切线方程

解：计算得$f'(1)=2$，故切线方程为：

1.3 可导性与连续性

重要关系：

• 可导⇒连续（但连续不一定可导）

• 不可导的典型情况：尖点、垂直切线、间断点

反例：$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但不可导

2. 求导法则

2.1 基本导数公式

常见函数的导数：

1. 多项式：$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$

2. 三角函数：

3. 特殊极限：

   $$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1,\quad \lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta} = 0$$

2.2 链式法则

设$z = f(y)$且$y = g(x)$，则复合函数的导数为：

记忆口诀："外导乘内导"

示例：求$y = \sin(2x^3)$的导数

解：

2.3 隐函数求导

对方程$F(x,y)=0$确定的隐函数$y=y(x)$，求导步骤：

1. 方程两边对$x$求导

2. 将含$\frac{dy}{dx}$的项整理到等式一边

3. 解出$\frac{dy}{dx}$

示例：求圆$x^2 + y^2 = 25$在点$(3,4)$处的切线斜率

解：

在
$(3,4)$处：

3. 高阶导数

3.1 定义与记号

二阶导数：

n阶导数：

3.2 典型函数的高阶导数

1. 幂函数：$f(x) = x^m$

   $f^{(n)}(x) = \begin{cases} \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} & m \geq n \\ 0 & m < n \end{cases}$

2. 倒数函数：$f(x) = \frac{1}{x}$

   $f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$

应用示例：验证$f(x)=\sin x$满足微分方程$f''(x) + f(x) = 0$

解：

学习建议

1. 导数计算需熟练掌握至少20个典型例题

2. 建议制作导数规则速查表（包含基本公式、链式法则等）

3. 使用图形软件（如Desmos）观察函数与导数的几何关系

4. 高阶导数练习时注意寻找规律，可使用数学归纳法验证猜想

附：练习合集