第5讲 微分应用（Appl. of Differentiation）

1. 函数的极值

1.1 全局极值与局部极值

基本定义：

• 全局最大值 在c点：
  
  $f(c) ≥ f(x) \quad 对定义域D中所有x成立$

• 全局最小值 在c点：
  
  $f(c) ≤ f(x) \quad 对定义域D中所有x成立$

• 局部最大值 在c点：
  
  $f(c) ≥ f(x) \quad 在c点附近的开区间成立$

• 局部最小值 在c点：
  
  $f(c) ≤ f(x) \quad 在c点附近的开区间成立$

金融案例：

投资组合收益曲线中的最高点（全局最大）代表最优投资方案，短期波动中的高点（局部最大）可能提示卖出时机。

1.2 极值定理

定理内容：

若函数f在闭区间[a,b]上连续，则：

1. f必定在区间上取得全局最大/最小值

2. 极值点只可能出现在：
   • 临界点（导数为零或不存在的点）
   • 区间端点

临界点判定：

示例：

分析函数$( f(x) = x^3 - 12x )$在[-3,5]的极值：

1. 求导：$( f'(x) = 3x^2 - 12 )$

2. 解方程 $( 3x^2 - 12 = 0 ) → ( x = ±2 )$

3. 比较端点与临界点函数值：
   
   $f(-3)= -27, \ f(-2)=16, \ f(2)= -16, \ f(5)=65$

2. 核心微分定理

2.1 费马定理

定理陈述：

若f在c点取得局部极值，则：

1. c必定是临界点

2. 若f在c点可导，则 $( f'(c) = 0 )$

证明思路：

假设c为极大值点，当h趋近于0时：

• 右导数：$( \lim_{h→0^+} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} ≤ 0 )$

• 左导数：$( \lim_{h→0^-} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} ≥ 0 )$

• 因此必须 $( f'(c) = 0 )$

2.2 中值定理（MVT）

定理内容：

若函数f满足：

1. 在[a,b]连续

2. 在(a,b)可导

则存在c∈(a,b)使得：

金融应用：

在固定收益证券分析中，用于验证利率曲线的平滑性，确保存在某个时间点的瞬时利率等于平均利率。

3. 曲线特性分析

3.1 一阶导数检验法

操作步骤：

1. 确定所有临界点

2. 绘制符号变化表：
   • (+)转(-)：局部极大
   • (-)转(+)：局部极小
   • 符号不变：非极值点

案例：

分析$( f(x) = x^4 - 8x^2 )$：

• 临界点：$x=0, x=±2$

• 符号分析：
  • x<-2时：f' < 0
  • (-2,0)：f' > 0
  • (0,2)：f' < 0
  • x>2时：f' > 0
    结论：x=-2和x=2为极小值，x=0为极大值
    

3.2 凹凸性与拐点

二阶导数判定：

• 上凸（凹函数）： $( f''(x) > 0 )$

• 下凸（凸函数）： $( f''(x) < 0 )$

• 拐点： 凹凸性发生改变的点

典型案例：

期权价格曲线：

• 平值期权附近呈现上凸性（Gamma正）

• 深度实值/虚值区域接近线性

4. 高阶应用工具

4.1 泰勒展开

多项式展开式：

余项公式：

金融应用：

1. 欧式期权Delta近似：

1. 风险因子敏感性分析

4.2 洛必达法则

应用条件：

当极限形式为$( \frac{0}{0} )$或$( \frac{∞}{∞} )$时：

计算示例：

求极限$( \lim_{x→0} \frac{ln(1+3x)}{sin2x} )$：

1. 验证形式：0/0型

2. 应用法则：

5. 学习路径建议

循序渐进四步法：

1. 基础巩固：
   • 掌握导数计算规则
   • 练习临界点判定（建议完成20+练习题）

2. 几何理解：
   • 使用Desmos等工具绘制函数图像
   • 观察导数符号与曲线形态的关系

3. 金融建模：
   • 分析期权价格曲线的极值与凹凸性
   • 用泰勒展开近似VAR（风险价值）计算

4. 扩展提升：
   • 研究Black-Scholes方程的微分特性
   • 探索利率期限结构的微分方程模型

典型错误防范：

• 混淆局部极值与全局极值 → 记住要比较所有临界点和端点

• 误用洛必达法则 → 每次使用前必须验证条件

• 忽略拐点的二阶导验证 → 必须保证f''(x)在拐点两侧变号

实践项目建议：

构建股票价格波动模型，通过微分法确定最佳买卖点，并计算相应风险敞口。

附：练习合集