第3讲连续函数（Continuous Functions）

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连续性是微积分的核心概念之一，对于金融数学中的资产定价模型、风险分析以及各类金融函数的建模都至关重要。本讲义将帮助你理解函数连续性的基本概念、判断方法和重要应用。

1. 连续性和区间连续性

1.1 点连续性（Point Continuity）

函数 $f$ 在点 $a$ 处连续当且仅当：

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

需要满足三个条件：

$f(a)$ 存在（在 $a$ 处有定义）

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在

极限值等于函数值

例题：

证明 $f(x) = x^2$ 在 $x=3$ 处连续：

\lim_{x \to 3} x^2 = 9 = f(3)

函数在 $x=3$ 处有定义，极限存在且等于函数值，因此连续。

1.2 单侧连续性（One-sided Continuity）

右连续：

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

左连续：

\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)

完全连续需要同时满足左、右连续

金融应用：很多金融模型中，资产价格函数在分红日、股票分拆等事件发生时通常只保持单侧连续。

1.3 区间连续性

开区间

$f$ 在 $(a,b)$ 上连续 $\Leftrightarrow$ 对每个 $x \in (a,b)$ 都连续

闭区间

$f$ 在 $[a,b]$ 上连续当：

在 $(a,b)$ 内每点连续

在 $a$ 处右连续

在 $b$ 处左连续

应用示例：

$\sqrt{x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，因为它在开区间 $(0,+\infty)$ 内每点连续，且在 $x=0$ 处右连续。

金融案例：利率期限结构（Yield Curve）通常被建模为闭区间上的连续函数。

2. ε-δ 精确定义

对任意 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ 使得：

|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon

直观理解：只要 $x$ 足够接近 $a$ （距离小于 $\delta$ ），函数值就会任意接近 $f(a)$ （误差小于 $\epsilon$ ）。

例题：用 ε-δ 定义证明 $f(x) = 3x+2$ 在任意点 $a$ 处连续。

解：给定任意 $\epsilon > 0$ ，我们需要找到 $\delta > 0$ ，使得当 $|x-a| < \delta$ 时， $|f(x)-f(a)| < \epsilon$ 。

$|f(x)-f(a)| = |(3x+2)-(3a+2)| = |3(x-a)| = 3|x-a|$

若取 $\delta = \frac{\epsilon}{3}$ ，当 $|x-a| < \delta$ 时， $|f(x)-f(a)| = 3|x-a| < 3\delta = \epsilon$ 。

因此 $f(x) = 3x+2$ 在任意点 $a$ 处连续。

拓展延伸

极限和连续的epsilon-delta定义虽然相关但不完全相同：

对于函数f(x)在点a处的极限：

\lim_{x \to a} f(x) = L

其ε-δ定义为：
对任意ε > 0，存在δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε

对于函数f(x)在点a处的连续性定义：

函数f在点a处连续，当且仅当 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

用ε-δ表述为：
对任意ε > 0，存在δ > 0，使得当|x - a| < δ时，有|f(x) - f(a)| < ε

两者的主要区别：

极限定义中，x≠a（注意0 < |x - a|）；而连续性定义中，x可以等于a

极限讨论的是函数值接近某个值L；而连续性是将极限值与函数值f(a)联系起来

连续性可以看作是极限概念的特殊应用，即要求函数的极限值等于函数值

简言之，连续性是建立在极限概念基础上的，它要求函数在某点既有定义又有极限，且两者相等。

3. 间断点类型

可去间断点（Removable Discontinuity）

极限存在但不等于函数值，通过重新定义该点的函数值可以"修复"。

案例：

f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}

在 $x=1$ 处，函数未定义，但 $\lim_{x \to 1}f(x) = 2$ 。通过定义 $f(1)=2$ ，可以使函数在此处连续。

跳跃间断点（Jump Discontinuity）

左右极限存在但不相等

典型案例：

f(x) = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ x-1 & x < 0 \end{cases} \quad 在x=0处

在 $x=0$ 处： $\lim_{x \to 0^-}f(x) = -1$ 而 $\lim_{x \to 0^+}f(x) = 0$

无穷间断点（Infinite Discontinuity）

函数值趋向无限大

经典示例：

f(x) = \frac{1}{x} \quad 在x=0处

金融应用：某些期权定价模型在到期日接近时展现出无穷间断特性。

振荡间断点（Oscillating Discontinuity）

极限不存在且非无穷。

示例：

f(x) = \sin\frac{1}{x}

在 $x=0$ 处：极限不存在，函数值在 $[-1,1]$ 之间无限振荡。

4. 连续函数的性质

4.1 代数运算性质

若 $f$ , $g$ 在 $a$ 处连续，则：

$cf$ 连续（ $c$ 为常数）

$f \pm g$ 连续

$fg$ 连续

$f/g$ 连续（当 $g(a) \neq 0$ ）

4.2 初等函数连续性

多项式函数：全体实数范围内连续
例： $f(x) = 2x^3 - 5x + 1$

有理函数：定义域内连续
例： $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ 在 $x \neq 2$ 处连续

三角函数：
- $\sin x$ , $\cos x$ ：处处连续
- $\tan x$ ：在 $\cos x \neq 0$ 处连续

指数和对数函数：
- $e^x$ ：全体实数上连续
- $\ln x$ ：在 $(0,+\infty)$ 上连续

4.3 复合运算规则

若 $g$ 在 $a$ 处连续， $f$ 在 $g(a)$ 处连续，则 $f \circ g$ 在 $a$ 处连续：

\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)

应用示例：

$e^{\cos x}$ 在全体实数范围连续，因为 $\cos x$ 在任何点连续，而 $e^y$ 在任何 $y$ 处连续。

5. 介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）

5.1 介值定理

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续， $N$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意值，则存在 $c \in (a,b)$ 使得：

f(c) = N

直观理解：连续函数的图像是一条"不间断的曲线"，从一个高度变化到另一个高度时，必然经过中间的所有高度。

应用实例

证明方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 $(1,2)$ 内有解：

定义 $f(x) = x^3 - x - 1$

计算得 $f(1) = -1 < 0$ ， $f(2) = 5 > 0$

由于 $f$ 连续且取值从负到正，根据介值定理，存在 $c \in (1,2)$ 使 $f(c) = 0$

5.2 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值和最小值。

金融应用：分析金融资产在特定时间区间内的价格极值。

有界性定理

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在该区间上有界，即存在 $M > 0$ 使得:

|f(x)| \leq M \text{ 对任意 } x \in [a,b]

金融应用：估计金融模型在特定参数范围内的输出波动范围。

学习建议

图形辅助：通过绘制函数图像理解连续性

分段函数：重点练习处理分段点的连续性判断

定理应用：掌握介值定理证明方程解的存在性

常见错误：
- 忽略三个连续性条件的全面验证
- 误用复合函数连续性规则

金融案例分析：尝试研究实际金融函数的连续性特征，如收益率曲线、期权定价函数等。

推荐练习：

分析 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处的连续性

找出 $f(x) = [x]$ （取整函数）的所有间断点

用介值定理证明 $e^x = 2x$ 在 $(0,1)$ 内有解

分析股票价格在除息日的连续性特征

研究期权定价函数在临近到期日时的连续性

附：练习合集

练习

第2讲极限（Limits）

第4讲导数（Derivatives）