第3讲 连续函数（Continuous Functions）

1. 连续性的定义

1.1 点连续性

函数 $f$ 在点 $a$ 处连续当且仅当：

需要满足三个条件：

1. $f(a)$ 存在（在$a$ 处有定义）

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在

3. 极限值等于函数值

例题：

证明 $f(x) = x^2$ 在 $x=3$处连续：

1.2 单侧连续性

右连续：

左连续：

完全连续需要同时满足左、右连续

2. 区间连续性

2.1 开区间

$f$在 $(a,b)$ 上连续 $\Leftrightarrow$ 对每个 $x \in (a,b)$ 都连续

2.2 闭区间

$f$ 在 $[a,b]$ 上连续当：

1. 在 $(a,b)$ 内每点连续

2. 在$a$ 处右连续

3. 在$b$ 处左连续

应用示例：

$\sqrt{x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续

3. ε-δ 精确定义

对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得：

直观理解：

只要 $x$ 足够接近 $a$，函数值就会任意接近 $f(a)$

4. 间断点类型

4.1 可去间断点

极限存在但不等于函数值

案例：

4.2 跳跃间断点

左右极限存在但不相等

典型案例：

4.3 无穷间断点

函数值趋向无限大

经典示例：

5. 连续函数的性质

5.1 代数运算性质

若 $f$, $g$在 $a$ 处连续，则：

1. $cf$ 连续（$c$ 为常数）

2. $f \pm g$连续

3. $fg$ 连续

4. $f/g$ 连续（当 $g(a) \neq 0$）

5.2 初等函数连续性

• 多项式函数：全体实数范围内连续

  例：$f(x) = 2x^3 - 5x + 1$

• 有理函数：定义域内连续

  例：$f(x) = \frac{x+3}{x-2}$在 $x \neq 2$ 处连续

• 三角函数：
  • $\sin x$,$\cos x$：处处连续
  • $\tan x$：在 $\cos x \neq 0$ 处连续

6. 复合函数连续性

6.1 复合运算规则

若 $g$ 在 $a$ 处连续，$f$ 在 $g(a)$ 处连续，则 $f \circ g$ 在 $a$ 处连续：

应用示例：

$e^{\cos x}$ 在全体实数范围连续

7. 介值定理（IVT）

7.1 定理陈述

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$N$ 是介于$f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意值，则存在 $c \in (a,b)$ 使得：

7.2 应用实例

证明方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 (1,2) 内有解：

• $f(1) = -1$，$f(2) = 5$

• 根据IVT，存在 $c \in (1,2)$ 使 $f(c) = 0$

学习建议

1. 图形辅助：通过绘制函数图像理解连续性

2. 分段函数：重点练习处理分段点的连续性判断

3. 定理应用：掌握介值定理证明方程解的存在性

4. 常见错误：
   • 忽略三个连续性条件的全面验证
   • 误用复合函数连续性规则

推荐练习：

1. 分析 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处的连续性

2. 找出 $f(x) = [x]$（取整函数）的所有间断点

3. 用介值定理证明 $e^x = 2x$ 在 (0,1) 内有解

附：练习合集