统计第10讲：拟合优度检验 | Goodness-of-Fit

一、基本概念与似然比检验原理

1.1 拟合优度检验的目的

拟合优度检验用于评估观察数据与理论模型的匹配程度。通过比较两个嵌套模型(nested models)的拟合效果，判断简单模型是否足以描述数据。

关键术语：

• 似然比检验 Likelihood Ratio (LR) Test

• 卡方分布 χ² Distribution

• 自由度 Degrees of Freedom

1.2 似然比检验步骤

假设：

• 大模型（备择假设）参数空间维度：k₁

• 小模型（原假设）参数空间维度：k₀

检验统计量：

其中：

• $L_1$为备择假设下的最大似然值

• $L_0$为原假设下的最大似然值

当样本量足够大时，$G$服从卡方分布：

学习建议：理解参数空间维度差异与自由度的关系。例如当比较三维多项式分布与HWE模型时，自由度差为2-1=1。

二、多项分布案例：Hardy-Weinberg平衡检验

2.1 问题设定

假设基因型观测数据服从三项分布：

• *Hardy-Weinberg平衡(HWE)**假设：
  
  

2.2 似然值计算

一般模型（无约束）：

极大似然估计：

对数似然：

HWE模型（约束模型）：

极大似然估计：

对数似然：

示例：假设观测到$(X_1,X_2,X_3)=(25,50,25)$，则：


$\hat{\theta} = \frac{50 + 2×25}{200} = 0.5 \\ \log L_0 = 25\log(0.25) + 50\log(0.5) + 25\log(0.25)$

三、独立性检验：列联表分析

3.1 检验原理

对于$I×J$列联表数据：

原假设：行变量与列变量独立

即存在$\{q_i\}, \{r_j\}$使得：

3.2 检验统计量计算

期望频数：

G统计量：

自由度：

示例：2×2列联表

若观测到：


$\begin{bmatrix} 10 & 20 \\ 30 & 40 \end{bmatrix}$

则期望频数为：


$\begin{bmatrix} 12 & 18 \\ 28 & 42 \end{bmatrix}$

计算每个单元格的
$X\log(X/E)$并求和。

四、正态分布案例：均值检验

4.1 方差已知情况

检验$H_0: \mu=0$，已知$\sigma$

似然比统计量：

4.2 方差未知情况

需同时估计$\sigma$：

学习建议：比较参数已知与未知情况下自由度的变化，理解为什么方差估计会影响自由度。

五、学习要点总结

1. 模型嵌套关系：确认原假设模型是备择假设的特例

2. 自由度计算：df = 大模型参数个数 - 小模型参数个数

3. 软件实现：建议使用R的chisq.test()或Pythonscipy.stats.chisquare验证计算结果

关键公式回顾：

常见误区：

• 样本量过小时卡方近似不准确

• 忽略单元格期望频数需大于5的实践准则

附：练习合集