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练习

练习题

练习题 1(多项分布检验)

某遗传学实验观测到基因型频率如下:


(X1,X2,X3)=(49,42,9)(n=100)(X_1, X_2, X_3) = (49, 42, 9) \quad (n=100) 


假设HWE成立:

  1. 计算θ的极大似然估计
  1. 计算期望频数
  1. 计算似然比统计量G
  1. 判断是否拒绝HWE(α=0.05)

练习题 2(独立性检验)

某社会调查得到如下列联表:


[20301535]\begin{bmatrix} 20 & 30 \\ 15 & 35 \end{bmatrix} 

  1. 计算期望频数矩阵
  1. 计算G统计量
  1. 确定自由度
  1. 查表求P值(α=0.05)

练习题 3(正态分布检验)

已知样本数据来自N(μ,4)N(\mu, 4)


{1.2,0.5,2.3,0.8,1.6}(n=5)\{1.2, -0.5, 2.3, 0.8, -1.6\} \quad (n=5)

检验
H0:μ=0H_0: \mu=0

  1. 计算似然比统计量G
  1. 确定拒绝域
  1. 判断是否拒绝原假设

练习题 4(理论题)

解释以下检验的自由度为什么是:

  1. HWE检验的自由度=1
  1. 2×3列联表独立性检验的自由度=2

练习题答案

答案 1(多项分布检验)

  1. θ^=42+2×92×100=0.3\hat{\theta} = \frac{42 + 2×9}{2×100} = 0.3
  1. 期望频数:


    ((10.3)2×100, 2×0.3×0.7×100, 0.32×100)=(49,42,9)( (1-0.3)^2×100, \ 2×0.3×0.7×100, \ 0.3^2×100 ) = (49, 42, 9)

  1. G=2[49log4949+42log4242+9log99]=0G = 2\left[49\log\frac{49}{49} + 42\log\frac{42}{42} + 9\log\frac{9}{9}\right] = 0
  1. 不拒绝HWE(G=0<χ0.952(1)=3.841G=0 < \chi^2_{0.95}(1)=3.841

答案 2(独立性检验)

  1. 期望频数:


    [50×35100=17.550×65100=32.550×35100=17.550×65100=32.5]\begin{bmatrix} \frac{50×35}{100}=17.5 & \frac{50×65}{100}=32.5 \\ \frac{50×35}{100}=17.5 & \frac{50×65}{100}=32.5 \end{bmatrix}

  1. G=2[20log2017.5+...+35log3532.5]2.15G = 2\left[20\log\frac{20}{17.5} + ... +35\log\frac{35}{32.5}\right] ≈ 2.15
  1. df=(21)(21)=1df = (2-1)(2-1)=1
  1. χ0.952(1)=3.841\chi^2_{0.95}(1)=3.841,不拒绝原假设

答案 3(正态分布检验)

  1. Xˉ=0.44\bar{X}=0.44


    G=5×0.4424=0.242G = \frac{5×0.44^2}{4} = 0.242

  1. 拒绝域:G>χ0.952(1)=3.841G > \chi^2_{0.95}(1)=3.841
  1. 不拒绝原假设

答案 4(理论题)

  1. HWE模型参数θ的维度=1,多项式分布参数维度=2 → df=2-1=1
  1. 行参数维度=2-1=1,列参数维度=3-1=2 → 总维度=1+2=3
    原模型参数维度=2×3-1=5 → df=5-3=2