统计第9讲：假设检验 | Hypothesis Testing

一、基本概念

1.1 假设检验框架

假设检验是统计推断的核心工具，用于判断样本数据是否支持某个原假设 (Null Hypothesis, H₀)。典型设定：

• 已知样本 $X_1,...,X_n \stackrel{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma$ 已知

• 原假设 $H_0: \mu = \mu_0$

• 备择假设 $H_1: \mu = \mu_1$（或 $\mu > \mu_0$, $\mu \neq \mu_0$ 等）

1.2 两类错误

• 第一类错误 (Type I Error)：错误拒绝真原假设，概率记为 $\alpha$

• 第二类错误 (Type II Error)：错误接受假原假设，概率记为 $\beta$

• 检验功效 (Power)：正确拒绝假原假设的概率，即 $1-\beta$

二、单尾检验 | One-Tailed Test

2.1 检验设定

• $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu > \mu_0$

• 使用样本均值 $\bar{X}$ 作为检验统计量

2.2 拒绝域的确定

在 $H_0$ 下，$\bar{X} \sim N\left(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后：

给定显著性水平 $\alpha$，临界值 $c$ 满足：

拒绝域：$(\mu_0 + z_\alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, +\infty)$

2.3 实例分析

例：某股票日收益率声称平均为 0.5%。随机抽取 25 个交易日数据得 $\bar{x}=0.8$，已知 $\sigma=0.2$。检验 $H_0: \mu=0.5$（$\alpha=0.05$）

计算：


$z = \frac{0.8-0.5}{0.2/\sqrt{25}} = 7.5,\quad z_{0.05}=1.645$
由于
$7.5 > 1.645$，拒绝 $H_0$，认为平均收益率显著高于 0.5%

三、双尾检验 | Two-Tailed Test

3.1 检验设定

• $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu \neq \mu_0$

• 拒绝域分布在两侧

3.2 拒绝域的确定

临界值 $c$ 满足：

拒绝域：

3.3 实例分析

例：检验某债券收益率是否偏离承诺的 5%（$\alpha=0.05$）。样本量 $n=30$, $\bar{x}=4.8$, $\sigma=0.5$

计算：


$z = \frac{4.8-5}{0.5/\sqrt{30}} \approx -2.19,\quad |z|=2.19 > z_{0.025}=1.96$

拒绝
$H_0$，收益率显著偏离 5%

四、假设检验与置信区间

4.1 对应关系

$(1-\alpha)$ 置信区间包含所有不能以显著性水平 $\alpha$ 拒绝的 $\mu_0$ 值：

4.2 操作意义

• 若 $\mu_0$ 落在置信区间内 → 不拒绝 $H_0$

• 若 $\mu_0$ 在置信区间外 → 拒绝 $H_0$

五、P值 | P-Value

5.1 定义

P值是在 $H_0$ 成立时，观测到比样本结果更极端情况的概率：

• 单尾检验：$P = P_{H_0}(\bar{X} \geq \bar{x})$

• 双尾检验：$P = 2 \cdot P_{H_0}(|\bar{X}| \geq |\bar{x}|)$

5.2 决策规则

• 若 $P < \alpha$ → 拒绝 $H_0$

• 若 $P \geq \alpha$ → 不拒绝 $H_0$

学习建议

1. 理解假设检验的反证法逻辑：先假设 $H_0$ 成立，再寻找矛盾证据

2. 通过绘制正态分布图直观理解拒绝域

3. 对比单双尾检验的应用场景（方向性假设 vs 一般性差异）

4. 熟练掌握标准正态分布表的查表方法

5. 完成至少 5 个不同参数设置的练习题目

附：练习合集