概率第2讲：概率公理 | Axioms of Probability

1. 样本空间与事件 (Sample Space and Events)

1.1 基本定义

• 样本空间 (Sample Space): 实验所有可能结果的集合，记作 $S$
  例：抛骰子
  $S = \{1,2,3,4,5,6\}$

• 事件 (Event): 样本空间的任意子集
  例：抛骰子出现偶数
  $E = \{2,4,6\}$

1.2 集合运算

• 并集 (Union): $E \cup F$包含属于 $E$ 或 $F$ 的结果
  
  $例：E=\{1,2\}, F=\{2,3\} ⇒ E \cup F = \{1,2,3\}$

• 交集 (Intersection): $E \cap F$ 或 $EF$ 包含同时属于 $E$ 和 $F$ 的结果
  
  $例：E \cap F = \{2\}$

• 补集 (Complement): $E^c$ 包含不属于 $E$ 的结果
  
  $例：E=\{2,4,6\} ⇒ E^c = \{1,3,5\}$

• 子集 (Subset): $E \subset F$ 表示 $E$ 的所有结果都在 $F$ 中
  
  $例：E=\{2\}, F=\{2,4\} ⇒ E \subset F$

学习建议：用韦恩图辅助理解集合关系

2. 德摩根定律 (De Morgan's Laws)

2.1 第一定律

证明：

(i) 左式包含于右式：

取 $x \in \left( \bigcup_{i=1}^n E_i \right)^c$

⇒ $x \notin \bigcup_{i=1}^n E_i$

⇒ $x \notin E_1$ 且 $x \notin E_2$ ... 且 $x \notin E_n$

⇒ $x \in E_1^c$ 且 $x \in E_2^c$ ... 且 $x \in E_n^c$

⇒ $x \in \bigcap_{i=1}^n E_i^c$

(ii) 右式包含于左式（反向同理）

2.2 第二定律

证明策略：对第一定律结果取补集

应用示例：

若 $E=$"股票上涨", $F=$"交易量增加"，则 $\left( E \cap F \right)^c = E^c \cup F^c$ 表示"股票未上涨或交易量未增加"

3. 概率公理化定义

3.1 相对频率定义（历史观点）

局限性：

1. 实际实验次数 $n$ 有限

2. 无法处理无限样本空间（如几何概率）

3. 缺乏严格的数学基础

3.2 柯尔莫哥洛夫公理 (Kolmogorov Axioms)

对任意事件 $E \subseteq S$，要求：

1. 非负性: $P(E) \geq 0$

2. 规范性: $P(S) = 1$

3. 可列可加性: 对互斥事件序列 $\{E_i\}$，有

示例验证：

掷骰子中：

• $P(\{1\}) = 1/6 > 0$ （满足公理1）

• $P(S) = P(\{1,2,3,4,5,6\}) = 1$ （满足公理2）

• $P(\{1\} \cup \{3\}) = 1/6 + 1/6 = 1/3$ （满足公理3）

4. 习题与思考

例题：

设 $S = \{1,2,3,4\}$，已知 $P(\{1\})=0.2$, $P(\{2\})=0.3$, $P(\{3\})=0.4$，求：

1. $P(\{4\})$

2. $P(\{1,3\}^c)$

解题提示：

1. 利用规范性公理 $\sum_{i=1}^4 P(\{i\}) = 1$

2. 应用补集公式 $P(E^c) = 1 - P(E)$

学习建议：

• 熟练掌握集合运算与概率公理的联合应用

• 通过画图辅助理解复杂事件关系

• 注意区分相对频率与公理化定义的应用场景

附：练习合集