练习

练习题

1. 基本概念

   抛两枚硬币的样本空间是 $S = \{HH, HT, TH, TT\}$，定义事件：

   • $E$: 至少一次正面朝上
   • $F$: 第二次是反面
     求：
     (a)
     $E \cup F$
     (b)
     $E \cap F$
     (c)
     $F^c$

2. 德摩根定律应用

   用德摩根定律简化：

   $$\left( A \cup B \cup C \right)^c$$

3. 概率计算

   已知某股票市场日行情概率：

   • $P(\text{上涨}) = 0.6$
   • $P(\text{成交量>1亿}) = 0.4$
   • $P(\text{上涨} \cap \text{成交量>1亿}) = 0.3$
   • 求：某日"不上涨或成交量≤1亿"的概率

4. 公理验证

   在样本空间 $S = \{a,b,c\}$ 中，以下概率分配是否满足柯尔莫哥洛夫公理？

   • $P(\{a\}) = 0.5$
   • $P(\{b\}) = 0.7$
   • $P(\{c\}) = 0.2$

5. 综合应用

   设样本空间 $S = \{1,2,3,4,5\}$，已知：

   • $P(\{1\}) = P(\{2\}) = 0.2$
   • $P(\{3\}) = P(\{4\}) = 0.1$
     求：
     (a)
     $P(\{5\})$
     (b)
     $P(\text{奇数})$

答案

1. 答案

   (a) $E \cup F = \{HH, HT, TH, TT\} = S$

   (b) $E \cap F = \{HT, TT\}$

   (c) $F^c = \{HH, HT\}$

   解析：F是第二次为反面的结果$\{HT, TT\}$，其补集为第二次不是反面的结果

2. 答案

   $\left( A \cup B \cup C \right)^c = A^c \cap B^c \cap C^c$

   解析：根据德摩根第一定律的扩展形式

3. 答案

   $P(\text{不上涨} \cup \text{成交量≤1亿}) = 1 - P(\text{上涨} \cap \text{成交量>1亿}) = 1 - 0.3 = 0.7$

   技巧：利用 $P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c)$

4. 答案

   不满足公理：

   • 概率和 $0.5+0.7+0.2 = 1.4 > 1$ 违反规范性公理
   • $P(\{b\}) = 0.7 > 0$ 虽然满足非负性，但总体不符合规范性

5. 答案

   (a) 由规范性公理：

   $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + P(\{5\}) = 1 ⇒ P(\{5\}) = 0.4$

   (b) $P(\text{奇数}) = P(\{1\}) + P(\{3\}) + P(\{5\}) = 0.2 + 0.1 + 0.4 = 0.7$

   注意：奇数集合是$\{1,3,5\}$