概率第1讲：组合分析 | COMBINATORIAL ANALYSIS

基本计数原理 | Basic Principle of Counting

核心概念

• 组合分析 (Combinatorial Analysis)：研究计数的数学理论

• 基本计数原理：若实验1有$m$种结果，对实验1的每个结果，实验2都有$n$种结果，则两个实验共有$m \times n$种组合结果

• 推广计数原理：若有$r$个连续实验，各实验可能结果数分别为$n_1, n_2,...,n_r$，则总可能结果数为：

应用示例

例1（电话号码组合）：

• 某地区电话号码格式为：区号3位 + 局号3位 + 用户号4位

• 计算可能的号码总数：
  
  $10^3 \times 10^3 \times 10^4 = 10^{10}$

学习建议：将复杂问题分解为多个独立步骤，使用乘法原理逐步计算。

排列 | Permutations

基本公式

• 阶乘 (Factorial)：

特殊规定：$0! = 1! = 1$

• 全排列：$n$个不同元素的排列方式数为：

• 含重复元素的排列：当存在$n_1$个相同元素，$n_2$个另一类相同元素等时：

典型例题

例2（字母排列）：

• 单词"SUCCESS"的字母排列数计算：
  • 总字母数：7
  • 重复字母：3个S，2个C
    
    $\frac{7!}{3!2!} = 420$

练习题：计算"MATHEMATICS"的不同排列数（答案见文末）

组合 | Combinations

组合公式

• 二项式系数 (Binomial Coefficient)：

表示从$n$个元素中不考虑顺序选取$r$个的方式数

• 组合恒等式：

应用场景

例3（委员会选举）：

• 从8位教授中选4位组成委员会，不同选法数：
  
  $\binom{8}{4} = 70$

例4（扑克牌组合）：

• 从52张牌中选5张的不同组合数：
  
  $\binom{52}{5} = 2,598,960$

学习技巧：注意区分排列（顺序重要）与组合（顺序无关）。例如：

• 密码锁是排列问题（123 ≠ 321）

• 彩票号码是组合问题（1-2-3与3-2-1视为相同）

综合练习

推荐练习题：

1. （E18）计算10本不同书分给3人的方法数，要求每人至少1本

2. （E20-22）验证组合恒等式 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

3. （E26）计算包含3个元音和2个辅音的5字母单词数（假设有5个元音，21个辅音）

重要提醒：当处理复杂计数问题时，建议：

1. 明确是否考虑元素顺序

2. 检查是否有重复元素

3. 使用树状图辅助分析

4. 验证答案是否合理（如总数不应超过基本情况）

练习题答案：

• "MATHEMATICS"排列数：$\frac{11!}{2!2!2!} = 4,989,600$

附：练习合集