练习

练习题 1 (基的判定)

设 $V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}$，已知基 $S = \{(1,0,1), (0,1,2)\}$。判断以下集合是否为 $V$的基：

(a) $T_1 = \{(2,1,4), (1,1,3)\}$

(b) $T_2 = \{(3,2,7), (1,0,1)\}$

练习题 2 (过渡矩阵计算)

设 $\mathbb{R}^3$ 的基 $S = \{\mathbf{u}_1=(1,1,0), \mathbf{u}_2=(1,0,1), \mathbf{u}_3=(0,1,1)\}$，

基 $T = \{\mathbf{v}_1=(1,0,0), \mathbf{v}_2=(1,1,0), \mathbf{v}_3=(1,1,1)\}$。

求从$S$ 到 $T$ 的过渡矩阵。

练习题 3 (秩的参数分析)

对矩阵 $B = \begin{pmatrix}1 & a & 2 \\ a & 4 & 1 \\ 2 & 1 & a\end{pmatrix}$，分析参数$a$ 不同取值时矩阵的秩。

练习题 4 (零空间与秩)

设矩阵 $C = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -3\end{pmatrix}$：

(a) 求零空间的一组基

(b) 验证秩-零度定理

练习题 5 (秩的性质证明)

证明：对任意 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $n \times p$ 矩阵 $B$，有

$\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)$.

参考答案

练习题 1

答案

(a) 是基

(b) 不是基

解析

(a) 验证线性无关性：

设 $c_1(2,1,4) + c_2(1,1,3) = 0$，解得唯一解 $c_1=c_2=0$。

因 $\dim(V)=2$ 且含 2 个线性无关向量，故为基。

(b) $(3,2,7) = (1,0,1) + 2(1,1,3)$，说明线性相关。

练习题 2

答案

过渡矩阵为

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

解析

将 $\mathbf{u}_i$ 用 $\mathbf{v}_j$ 表示后构建矩阵并求逆。

练习题 3

答案

• 当 $a \neq 2$ 且 $a \neq -1$ 时，$\text{rank}(B)=3$

• 当 $a=2$或 $a=-1$ 时，$\text{rank}(B)=2$

解析

计算行列式 $\det(B) = -(a-2)(a+1)^2$，结合秩的定义分析。

练习题 4

答案

(a) 基为 $\{(-2,1,0), (1,0,1)\}$

(b) $\text{rank}(C)=1$, $\text{nullity}(C)=2$，满足 $1+2=3$（列数）

解析

解 $C\mathbf{x}=0$得通解 $\mathbf{x} = s(-2,1,0) + t(1,0,1)$。

练习题 5

证明

设 $B$ 的列向量为 $\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_p$，则 $AB$ 的列向量为 $A\mathbf{b}_1, \dots, A\mathbf{b}_p$。

这些向量属于 $A$ 的列空间，故$\text{rank}(AB) \leq \dim(\text{Col}(A)) = \text{rank}(A)$。

进一步由 $\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)$（因列空间为 $B$ 列空间的子集）。