NUS - Linear Algebra I

1. 线性方程组与解集（Linear Systems and Solution Sets ）

• 通解形式：解集表示为参数化向量，如 {(1 + s, 2s, s) | s ∈ ℝ}

• 解的判定：
  • 相容性条件：增广矩阵 [A | b] 的秩等于系数矩阵 A 的秩。
  • 齐次方程 Ax=0 的解空间维度：nullity(A) = n - rank(A)。

2. 矩阵运算与性质（Matrix Operations and Properties）

• 逆矩阵：
  • 若 AB = I，则 B = A⁻¹ 且 A = B⁻¹。
  • 逆的性质：(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，(cA)⁻¹ = 1/c A⁻¹。

• 行列式：
  • det(A) ≠ 0 ⇨ 矩阵可逆。
  • 行变换影响：交换行 det → -det，倍乘行 det → k·det，倍加行 det 不变。
  • 乘积性质：det(AB) = det(A)det(B)。

3. 向量空间与子空间（Vector Spaces and Subspaces）

• 子空间条件：
  • 包含零向量，且对线性组合封闭（例如 span(S)）。

• 基底与维度：
  • 极大无关组为基底，dim(ℝⁿ) = n。
  • 若 dim(U) = dim(V)，则子空间 U = V。

4. 线性变换与矩阵表示（Linear Transformations and Matrix Representation）

• 定义：线性变换 T: V → W 满足 T(cx + dy) = cT(x) + dT(y)。

• 秩-零化度定理：
  • rank(T) + nullity(T) = dim(V)。

• 合成变换：T∘S 的矩阵为 BA（若 T 对应 B，S 对应 A）。

5. 特征值与对角化（Eigenvalues and Diagonalization）

• 特征方程：det(λI - A) = 0。

• 对角化条件：
  • 矩阵有 n 个线性无关特征向量。
  • 几何重数等于代数重数。

• 谱定理：实对称矩阵可正交对角化。

6. 内积空间与投影（Inner Product Spaces and Projections）

• 正交投影公式（正交基底）：
  • 投影向量 projᵥ(w) = Σ (w·uᵢ/uᵢ·uᵢ) uᵢ。

• 最小二乘解：AᵀAx = Aᵀb。

7. 基变换与坐标向量（Change of Basis and Coordinate Vectors）

• 过渡矩阵 P：满足 [x]_T = P[x]_S，其中 P 的列为目标基向量在原基下的坐标。

• 正交基变换：旋转矩阵示例（如 [cosθ, -sinθ; sinθ, cosθ]）。

8. 行列式核心定理（Core Determinant Theorems）

• 行列式为0：矩阵不可逆，行/列线性相关。

• 行列式与体积：|det(A)| 表示线性变换的体积缩放因子。

9. 应用与重要定理（Applications and Important Theorems）

• Cayley-Hamilton定理：矩阵满足其特征方程 p(A) = 0。

• 秩的性质：
  • rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}。
  • 行秩=列秩=秩。

10. 特殊矩阵与运算（Special Matrices and Operations）

• 初等矩阵：对应行变换（交换、倍乘、倍加），用于矩阵分解 A = E₁⁻¹E₂⁻¹B。

• 伴随矩阵：A⁻¹ = adj(A)/det(A)。