第3讲 矩阵II（Matrices II）

一、行列式的三种定义

1.1 拉普拉斯展开式（Laplace Expansion）

定义：设 $A = (a_{ij})$ 为 $n \times n$ 矩阵，$M_{ij}$ 表示删除第$i$行第 $j$ 列后的 $(n-1) \times (n-1)$ 子矩阵。

余因子 (Cofactor)：

行列式定义：

例：计算 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的行列式：

$\det(A) = 2 \cdot (-1)^{1+1} \det(4) - 1 \cdot (-1)^{1+2} \det(3) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 5$

1.2 莱布尼茨公式（Leibniz Formula）

排列与符号 (Permutations and Signatures)

• 排列$\sigma \in S_n$：$\{1,2,\dots,n\}$ 的双射

• 反序数 (Inversions)：满足 $i < j$ 但 $\sigma(i) > \sigma(j)$ 的对数

• 符号函数：$\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{反序数}}$

行列式定义：

例：$n=2$ 时，所有排列为 $\sigma_1 = (1,2)$（偶排列，符号+1）和 $\sigma_2 = (2,1)$（奇排列，符号-1）：

1.3 公理化定义（Axiomatic Definition）

设 $D: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}$ 满足：

1. n-线性性 (n-Linearity)：对任意一行都是线性的

2. 交替性 (Alternating)：若交换两行，则$D(A') = -D(A)$

3. 归一性 (Normalization)：$D(I_n) = 1$

定理：满足上述条件的函数唯一存在，即为行列式。

二、行列式的性质（Properties of Determinants）

2.1 基本性质

1. $\det(A) = \det(A^T)$

2. 若矩阵有两行相同，则 $\det(A) = 0$

3. 行操作（倍乘、交换、倍加）对行列式的影响：
   • 行倍乘：$\det(B) = k \det(A)$
   • 行交换：$\det(B) = -\det(A)$
   • 行倍加：$\det(B) = \det(A)$

2.2 可逆性与行列式

• 可逆条件：$A$ 可逆 $\iff \det(A) \neq 0$

• 逆矩阵行列式：$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

例：判断 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 是否可逆：

$\det(A) = -2 \neq 0 \implies$ 可逆。

三、伴随矩阵与克拉默法则（Adjoint Matrix and Cramer's Rule）

3.1 伴随矩阵

定义：设$A_{ij}$为余因子，伴随矩阵为：

关键公式：$A \cdot \operatorname{adj}(A) = \det(A) I_n$

逆矩阵表达式：若 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)$

3.2 克拉默法则（Cramer's Rule）

对线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，若 $A$ 可逆，则解为：

其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $\mathbf{b}$后的矩阵。

例：解方程组 $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$

计算 $A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$，得 $x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{14}{5}$。

四、习题与解答（Exercises and Solutions）

4.1 练习建议

1. 初阶：计算 $3 \times 3$ 矩阵的行列式（使用拉普拉斯展开）

2. 中阶：验证行列式的交替性（交换两行后符号变化）

3. 高阶：利用莱布尼茨公式证明 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$

4.2 范例解答

习题：证明若 $A$ 可逆，则 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$

解答：

由 $A A^{-1} = I$，两边取行列式得：

$\det(A) \det(A^{-1}) = \det(I) = 1 \implies \det(A^{-1}) = 1/\det(A)$

五、关键术语对照表

附：练习合集