NUS - Calculus for Computing

01. 函数与极限 (Functions & Limits)

• 极限法则
  1. limₓ→ₐ [f±g](x) = L ± L'
  2. limₓ→ₐ [f·g](x) = L·L'
  3. limₓ→ₐ (f/g)(x) = L/L' （若 L'≠0）
  4. limₓ→ₐ kf(x) = kL （k 为常数）

02. 微分法 (Differentiation)

• 极值条件
  • f'(x) = 0 或 f'(x) 不存在
  • 定义域端点

• 参数方程求导
  • 二阶导数：d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)] / (dx/dt)

• 导数公式表

  函数	导数
  tan x	sec²x
  csc x	−csc x cot x
  a^{f(x)}	ln a · f'(x) a^{f(x)}
  sin⁻¹ f(x)	f'(x)/√(1−[f(x)]²) （`

• 洛必达法则
  • 适用于 0/0 或 ∞/∞ 型未定式
  • 幂指函数：先取自然对数再应用法则

03. 积分法 (Integration)

• 积分公式表

  函数	积分结果
  tan x	`ln
  1/(x²+a²)	(1/a) tan⁻¹(x/a)
  √(a²−x²)	sin⁻¹(x/a) （`

• 积分技巧
  • 换元法：∫ₐᵇ f(g(x)) g'(x) dx = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(u) du
  • 分部积分：∫u dv = uv − ∫v du

• 旋转体体积
  • 绕x轴：V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² − [g(x)]² dx
  • 绕直线 y=k：V = π ∫ₐᵇ [f(x)−k]² dx

04. 级数 (Series)

• 几何级数
  • 发散和：S = a(1−rⁿ)/(1−r)
  • 收敛和（|r|<1）：S = a/(1−r)

• 幂级数与泰勒展开
  • 泰勒级数：f(x) = Σ_{k=0}^∞ [f⁽ᵏ⁾(a)/k!] (x−a)ᵏ
  • 麦克劳林级数（a=0）：f(x) = Σ_{n=0}^∞ [f⁽ⁿ⁾(0)/n!] xⁿ

• 常见展开式

  函数	展开式（收敛域）
  sin x	Σ_{n=0}^∞ (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! （x∈ℝ）
  1/(1−x)	Σ_{n=0}^∞ xⁿ （`
  ln(1+x)	Σ_{n=1}^∞ (-1)^{n−1} xⁿ/n （-1<x≤1）

05. 向量 (Vectors)

• 向量运算
  • 点积：a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
  • 叉积：

    a×b = |i j k|
          |a₁ a₂ a₃|
          |b₁ b₂ b₃|
    

  • 投影：ON = (a·b̂) b̂ = (a·b)/|b|² · b

• 平面方程
  • 标量积形式：r·n = a·n
  • 笛卡尔形式：ax + by + cz = p

• 点到平面距离距离 = |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| / √(a² + b² + c²)

06. 偏微分 (Partial Differentiation)

• 偏导数与链式法则
  • 一阶偏导：fₓ = ∂f/∂x, fᵧ = ∂f/∂y
  • 二阶偏导：fₓₓ = ∂²f/∂x², fₓᵧ = ∂²f/∂y∂x
  • 链式法则：

    dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)

• 方向导数与梯度
  • 方向导数：D_üf(a,b) = ∇f(a,b)·ü = fₓ u₁ + fᵧ u₂
  • 梯度：∇f = fₓ i + fᵧ j （最大增长率方向）

• 极值判定
  • 临界点：fₓ = 0 且 fᵧ = 0
  • 二阶判别：
    • D = fₓₓ fᵧᵧ − (fₓᵧ)²
    • D>0且fₓₓ>0 → 极小值；D>0且fₓₓ<0 → 极大值
    • D<0 → 鞍点

07. 二重积分 (Double Integrals)

• 定义与性质
  • 几何意义：曲面 z=f(x,y) 下的体积
  • 线性性：∬[f+g] dA = ∬f dA + ∬g dA

• 积分区域类型
  • 矩形区域：a≤x≤b, c≤y≤d

    ∬ᴿ f(x,y) dA = ∫ᶜᵈ [∫ₐᵇ f(x,y) dx] dy
    

  • 极坐标：dA = r dr dθ

    ∬ᴿ f(x,y) dA = ∫ᵦ^α ∫ₐᵇ f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
    

• 应用
  • 体积：V = ∬ᴿ f(x,y) dA
  • 曲面面积：S = ∬ᴿ √[(∂z/∂x)² + (∂z/∂y)² +1] dA

08. 常微分方程 (Ordinary Differential Equations)

• 一阶方程类型
  • 可分离变量：M(x)dx = N(y)dy
  • 齐次方程：y' = g(y/x) → 代换 v = y/x
  • 线性方程：y' + P(x)y = Q(x) → 积分因子 R = e^{∫P dx}
  • 伯努利方程：y' + P(x)y = Q(x)yⁿ → 代换 z = y¹⁻ⁿ

• 应用模型
  • 人口增长：
    • 马尔萨斯模型：N(t) = N₀ e^{kt}
    • 逻辑模型：N = K / [1 + (K/N₀ −1)e^{-Bt}]
  • 冷却定律：dT/dt = k(T − T_env)
  • 放射性衰变：Q(t) = Q₀ e^{-kt}, k = ln2 / t_{1/2}

此大纲覆盖MA1521核心内容，按考试重点分层整理，便于快速定位公式与解题技巧。