第2讲 极限（Limits）

1. 极限的严格定义

1.1 ε-δ 定义

设函数$f$ 在包含点 $a$ 的某个开区间内有定义（可能在 $a$ 处无定义），当 $x$ 趋近于 $a$ 时 $f(x)$ 的极限为 $L$，记作：

如果对于任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当：

非正式解释：

• $0 < |x - a| < \delta$ 表示 $x$ 接近但不等于 $a$

• $|f(x) - L| < \varepsilon$ 表示 $f(x)$ 可以任意接近 $L$

金融案例：

连续复利公式 $A = Pe^{rt}$的推导过程中，需计算极限：

1.2 基础例题

计算：

解：

当 $x$ 接近 3 时，直接代入得：

学习建议：

理解 $\varepsilon$-$\delta$ 定义的核心是把握"任意接近"的量化表达，建议通过几何画板观察 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的联动关系。

2. 极限运算法则

2.1 基本法则

假设 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，$\lim_{x \to a} g(x) = M$，则：

1. 常数倍法则：

2. 加减法则：

3. 乘法法则：

   $$\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM$$

4. 除法法则（当 $M \neq 0$ 时）：

2.2 典型错误警示

计算：

错误示范：直接应用除法法则（因分母极限为0）

正确方法：使用夹逼定理可得极限为1

学习建议：

每次应用法则前必须确认各分项极限存在，特别注意分母不为零的条件。

3. 单侧极限与连续复利

3.1 左右极限定义

左极限：

右极限：

3.2 间断点分析

考虑期权定价中的分段函数：

在 $x=1$ 处：

• 左极限：$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$

• 右极限：$\lim_{x \to 1^+} e^{x-1} = 1$

结论：函数在该点连续，这对期权价格连续性分析至关重要。

4. 无穷极限与风险管理

4.1 形式化定义

当 $x \to \infty$ 时的极限：

4.2 风险模型案例

在极端值理论中，研究损失分布的尾部行为：

这描述了金融风险事件的重尾特征。

学习建议：

通过绘制函数图像直观理解无穷极限，特别注意对数坐标系的运用。

附：练习合集