练习

配套练习题

基础练习

1. 直接代入法

   计算极限：
   
   $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 2x + 5)$

2. 有理函数处理

   计算极限：
   
   $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$

进阶练习

1. 单侧极限分析

   给定分段函数：
   
   $f(x) = \begin{cases} x^3 + 2 & x < 0 \\ e^x & x \geq 0 \end{cases}$

   求 $\lim_{x \to 0^-} f(x)$和 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$

2. 无穷极限

   计算：
   
   $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x}{3x^3 + x^2 + 4}$

综合应用

1. 夹逼定理应用

   证明：
   
   $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

2. 金融数学应用题

   连续复利计算公式为：
   
   $A = P\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

   试推导出 $A = Pe^{rt}$

答案与解析

1. 解：

   直接代入 $x=2$：
   
   $3(2)^2 - 2(2) + 5 = 12 - 4 + 5 = 13$

2. 解：

   因式分解分子：
   
   $\frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = x-3 \quad (x \ne 1)$

   极限值为：
   
   $1 - 3 = -2$

3. 解：

   左极限：
   
   $\lim_{x \to 0^-} (x^3 + 2) = 0 + 2 = 2$

   右极限：
   
   $\lim_{x \to 0^+} e^x = 1$

   注：该函数在 $x=0$ 处不连续

4. 解：

   分子分母同除 $x^3$：

   
   
   $\lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^3}} = \frac{2}{3}$

5. 证明：

   利用不等式：

   
   
   $-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$

   两边乘以 $x^2$（$x^2 > 0$）：

   
   
   $-x^2 \leq x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$

   由于 $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$，由夹逼定理得证

6. 推导：

   令 $m = \frac{n}{r}$，则：

   
   
   $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{mrt} = \left[\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^{rt} = e^{rt}$
   
   

   最终得：

   
   
   $A = Pe^{rt}$

学习建议：

1. 基础题重点掌握直接代入和因式分解技巧

2. 分段函数练习时建议先画数轴标注定义域

3. 证明题要明确写出夹逼定理的三个组成部分

4. 金融推导注意极限变量的替换技巧（如第6题令$m = n/r$）