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第6讲 积分（Integrals）
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1. 定积分 1.1 黎曼和定义 1.2 几何意义 2. 积分性质 2.1 基本性质 2.2 估值定理 3. 微积分基本定理 3.1 第一基本定理 3.2 第二基本定理 4. 积分技术 4.1 分部积分法 4.2 换元积分法 5. 广义积分 5.1 无穷区间积分 5.2 间断点处理 附：练习合集

第6讲 积分（Integrals）

💡

查看全集：📓微积分/Calculus

1. 定积分

1.1 黎曼和定义

设函数 ff在区间 [a,b][a,b]上连续。将区间分割为 nn 个子区间：

a=x0<x1<⋯<xn=b a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b 每个子区间长度Δxi=xi−xi−1 \Delta x_i = x_i - x_{i-1}，取样本点 xi∗∈[xi−1,xi]x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]，则黎曼和为：

∑i=1nf(xi∗)Δxi \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i

当最大子区间长度趋于零时，定积分的定义为：

∫abf(x)dx=lim⁡max⁡Δxi→0∑i=1nf(xi∗)Δxi \int_a^b f(x)dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i

学习建议：从几何意义理解当分割无限细化时，矩形面积之和趋近于曲线下的面积。

1.2 几何意义

定积分表示净面积：

∫abf(x)dx=A+−A− \int_a^b f(x)dx = A^+ - A^- 其中 A+A^+是 f(x)≥0f(x) \geq 0 区域的面积，A−A^- 是 f(x)≤0f(x) \leq 0 区域的面积

例题：

计算 ∫−12(x+1)dx\int_{-1}^2 (x+1)dx

解：可分解为两个三角形面积之和，得到 92\frac{9}{2}

2. 积分性质

2.1 基本性质

  1. 线性性：
∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx
  1. 区间可加性：
    ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx \int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx
  1. 比较定理：若 f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x)，则
∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx \int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx

2.2 估值定理

若 m≤f(x)≤Mm \leq f(x) \leq M，则：

m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a) m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)

应用示例：

估计 ∫0πsin⁡xdx\int_0^{\pi} \sin x dx 的范围

解：因 0≤sin⁡x≤10 \leq \sin x \leq 1，故积分值在 00 到 π\pi 之间，实际值为 22

3. 微积分基本定理

3.1 第一基本定理

设 g(x)=∫axf(t)dtg(x) = \int_a^x f(t)dt，则：

g′(x)=f(x) g'(x) = f(x)

几何解释：累积函数的变化率等于被积函数在该点的值

3.2 第二基本定理

若 FF 是 ff 的原函数，则：

∫abf(x)dx=F(b)−F(a) \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

计算示例：

计算 ∫01x2dx\int_0^1 x^2 dx

解：原函数为x33\frac{x^3}{3}，故积分值为13−0=13 \frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}

套利例子解释

第一基本定理：即时套利机会

想象股票 XYZ 的价格差异函数f(t) f(t) 表示在时间 t 时不同市场间的价格差异（套利空间）。

累积函数 g(x)=∫axf(t)dtg(x) = \int_a^x f(t)dt 表示从时间 a 到 x 期间，通过不断利用价格差异可获得的总累积利润。

第一基本定理告诉我们：g′(x)=f(x)g'(x) = f(x)

这意味着：

  • 总累积利润曲线在任一时刻的斜率
  • 就等于该时刻的即时套利机会大小

直观理解：如果此刻两个市场间价格差异是5元，那么你的累积利润函数此刻正以每单位时间5元的速率增长。

第二基本定理：区间总套利

假设你是交易员，知道全天各时刻的套利机会函数 f(x)。

你想计算从上午9点 (a) 到下午4点 (b) 的总套利利润。

第二基本定理说：如果 F(x) 是累积利润函数（即 f(x) 的原函数），那么：

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

实际例子：

  • 假设套利机会遵循f(t)=10−t2 f(t) = 10 - t^2 元/小时（早上高，午后低）
  • 要计算从9点 (t=0) 到12点 (t=3) 的总套利额
  • 找到原函数F(t)=10t−t33 F(t) = 10t - \frac{t^3}{3}
  • 计算 F(3)−F(0)=(30−9)−0=21F(3) - F(0) = (30 - 9) - 0 = 21 元

金融洞察

这两个定理在金融中揭示的关系：

  • 第一定理：总收益曲线的斜率 = 即时套利机会
  • 第二定理：区间内总收益 = 终点累积收益 - 起点累积收益

金融启示：

  1. 市场效率的体现：套利机会 f(x)f(x) 通常稍纵即逝，因为随着交易者行动，价格差异被消除
  1. 套利者更关注累积函数的导数 g′(x)g'(x)，而长期投资者更关注整体累积函数 g(x)g(x)
  1. 随机市场中，即使短期套利 f(x)f(x) 高低起伏，长期累积收益 g(x)g(x) 可能呈现平滑趋势

这正是微积分基本定理的精妙所在：它将瞬时变化与累积效应精确关联，无论是在物理世界还是金融市场中都适用。

4. 积分技术

4.1 分部积分法

公式：

∫udv=uv−∫vdu \int u dv = uv - \int v du

解题技巧：

选择 uu 的顺序建议（LIATE法则）：

  1. Logarithmic 对数函数
  1. Inverse trigonometric 反三角函数
  1. Algebraic 代数函数
  1. Trigonometric 三角函数
  1. Exponential 指数函数

示例：

计算 ∫xexdx\int x e^x dx

解：取 u=xu=x, dv=exdxdv=e^x dx，得 xex−ex+Cx e^x - e^x + C

4.2 换元积分法

不定积分形式：

∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du

定积分形式：

∫abf(g(x))g′(x)dx=∫g(a)g(b)f(u)du \int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du

典型例题：

计算 ∫02xx2+1dx\int_0^2 x\sqrt{x^2+1} dx

解：令 u=x2+1u=x^2+1，积分变为12∫15udu=13(53/2−1) \frac{1}{2} \int_1^5 \sqrt{u}du = \frac{1}{3}(5^{3/2}-1)

5. 广义积分

5.1 无穷区间积分

定义：

∫a∞f(x)dx=lim⁡t→∞∫atf(x)dx \int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)dx

收敛性判断：

计算 ∫1∞1xpdx\int_1^\infty \frac{1}{x^p}dx：

5.2 间断点处理

若 ff 在 c∈(a,b)c \in (a,b) 处不连续：

∫abf(x)dx=lim⁡t→c−∫atf(x)dx+lim⁡s→c+∫sbf(x)dx \int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)dx + \lim_{s \to c^+} \int_s^b f(x)dx

重要示例：

∫011xdx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2（收敛）

∫011xdx\int_0^1 \frac{1}{x}dx（发散）

学习建议：

  1. 每天练习3-5个积分计算题
  1. 制作常见积分公式表
  1. 特别注意换元法中变量替换的完整性
  1. 使用图形辅助理解积分几何意义

附：练习合集

练习