第6讲 积分（Integrals）

定积分

1.1 黎曼和定义

设函数 $f$在区间 $[a,b]$上连续。将区间分割为 $n$ 个子区间：

$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$每个子区间长度$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，取样本点 $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$，则黎曼和为：

$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$

当最大子区间长度趋于零时，定积分的定义为：

$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$

学习建议：从几何意义理解当分割无限细化时，矩形面积之和趋近于曲线下的面积。

1.2 几何意义

定积分表示净面积：

$\int_a^b f(x)dx = A^+ - A^-$其中 $A^+$是 $f(x) \geq 0$ 区域的面积，$A^-$ 是 $f(x) \leq 0$ 区域的面积

例题：

计算 $\int_{-1}^2 (x+1)dx$

解：可分解为两个三角形面积之和，得到 $\frac{9}{2}$

积分性质

2.1 基本性质

1. 线性性：
   
   $\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx$

2. 区间可加性：
   
   $\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$

3. 比较定理：若 $f(x) \geq g(x)$，则
   
   $\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx$

2.2 估值定理

若 $m \leq f(x) \leq M$，则：

$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$

应用示例：

估计 $\int_0^{\pi} \sin x dx$ 的范围

解：因 $0 \leq \sin x \leq 1$，故积分值在 $0$ 到 $\pi$ 之间，实际值为 $2$

微积分基本定理

3.1 第一基本定理

设 $g(x) = \int_a^x f(t)dt$，则：

$g'(x) = f(x)$

几何解释：累积函数的变化率等于被积函数在该点的值

3.2 第二基本定理

若 $F$ 是 $f$ 的原函数，则：

$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$

计算示例：

计算 $\int_0^1 x^2 dx$

解：原函数为$\frac{x^3}{3}$，故积分值为$\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

积分技术

4.1 分部积分法

公式：

$\int u dv = uv - \int v du$

解题技巧：

选择 $u$ 的顺序建议（LIATE法则）：

1. Logarithmic 对数函数

2. Inverse trigonometric 反三角函数

3. Algebraic 代数函数

4. Trigonometric 三角函数

5. Exponential 指数函数

示例：

计算 $\int x e^x dx$

解：取 $u=x$, $dv=e^x dx$，得 $x e^x - e^x + C$

4.2 换元积分法

不定积分形式：

$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$

定积分形式：

$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$

典型例题：

计算 $\int_0^2 x\sqrt{x^2+1} dx$

解：令 $u=x^2+1$，积分变为$\frac{1}{2} \int_1^5 \sqrt{u}du = \frac{1}{3}(5^{3/2}-1)$

广义积分

5.1 无穷区间积分

定义：

$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)dx$

收敛性判断：

计算 $\int_1^\infty \frac{1}{x^p}dx$：

• $p>1$ 时收敛

• $p \leq 1$ 时发散

5.2 间断点处理

若 $f$ 在 $c \in (a,b)$ 处不连续：

$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)dx + \lim_{s \to c^+} \int_s^b f(x)dx$

重要示例：

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2$（收敛）

$\int_0^1 \frac{1}{x}dx$（发散）

学习建议：

1. 每天练习3-5个积分计算题

2. 制作常见积分公式表

3. 特别注意换元法中变量替换的完整性

4. 使用图形辅助理解积分几何意义

附：练习合集