练习

练习题

1. 计算定积分：
   
   $\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x - 1) dx$

2. 使用分部积分法计算：
   
   $\int x \cos x \, dx$

3. 使用换元法计算：
   
   $\int 2x \sqrt{x^2 + 4} \, dx$

4. 计算广义积分：
   
   $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx$

5. 计算瑕积分：
   
   $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

6. 计算积分：
   
   $\int e^{2x} dx$

答案

第一题

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x - 1) dx &= \left[ x^3 + x^2 - x \right]_0^2 \\ &= (8 + 4 - 2) - (0) = 10 \end{aligned}$

第二题

设 $u = x$，$dv = \cos x dx$，则 $du = dx$，$v = \sin x$：

$\begin{aligned} \int x \cos x dx &= x \sin x - \int \sin x dx \\ &= x \sin x + \cos x + C \end{aligned}$

第三题

令 $u = x^2 + 4$，则 $du = 2x dx$：

$\begin{aligned} \int 2x \sqrt{x^2 + 4} dx &= \int \sqrt{u} \, du \\ &= \frac{2}{3} u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C \end{aligned}$

第四题

$\begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx &= \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{-3} dx \\ &= \lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]1^t \\ &= \lim{t \to \infty} \left( -\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

第五题

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx &= \lim_{t \to 0^+} \int_{t}^{1} x^{-1/2} dx \\ &= \lim_{t \to 0^+} \left[ 2\sqrt{x} \right]t^1 \\ &= \lim{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2 \end{aligned}$

第六题

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$