第8讲 积分应用（Appl. of Integrals）

Volume of Revolution

1.1 Disk/Washer Method

基本原理：将旋转体切割成无限薄的圆盘/垫圈，计算单个薄片体积后积分

绕x轴旋转（纵向切割）：

$V = π\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

绕y轴旋转（横向切割）：

$V = π\int_{c}^{d} [f^{-1}(y)]^2 dy$

推导过程：

1. 在位置x处取厚度dx的薄片

2. 薄片半径r = f(x)

3. 单个薄片体积dV = πr²dx

4. 总体积为积分求和

示例：计算y = x²在[0,1]绕x轴的旋转体积

$V = π\int_{0}^{1} (x^2)^2 dx = π\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{π}{5}$

1.2 Cylindrical Shells Method

适用场景：当旋转轴与积分变量垂直时更简便

绕x轴旋转（水平壳层）：

$V = 2π\int_{c}^{d} y·f^{-1}(y) dy$

绕y轴旋转（垂直壳层）：

$V = 2π\int_{a}^{b} x·f(x) dx$

推导过程：

1. 壳层半径 = x（绕y轴时）

2. 壳层高度 = f(x)

3. 壳层厚度 = dx

4. 壳层体积dV = 2π(radius)(height)(thickness)

示例：计算y = x在[0,1]绕y轴的旋转体积

$V = 2π\int_{0}^{1} x·x dx = 2π\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2π}{3}$

学习建议：

1. 判断哪种方法更简便：看是否需要求反函数

2. 练习时建议先画示意图

3. 注意单位的一致性

Arc Length

2.1 基本公式

当函数f(x)在[a,b]上一阶导连续时：

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

参数方程形式：

$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

推导思路：

1. 将曲线分割为微小直线段

2. 使用勾股定理计算微分弧长：
   
   $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$

3. 对微分弧长积分

示例：计算y = x²在[0,1]的弧长

$f'(x) = 2x$

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \frac{1}{4}(2\sqrt{5} + \sinh^{-1}2)$

Surface Area of Revolution

3.1 旋转曲面面积

绕x轴旋转的曲面面积：

$A = 2π\int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

推导要点：

1. 取宽度dx的微小弧段

2. 旋转后形成圆台侧面积：
   
   $dA = 2πr·ds$

3. 其中r = f(x)，ds为微分弧长

示例：计算y = x在[0,1]绕x轴的旋转表面积

$f'(x) = 1$

$A = 2π\int_{0}^{1} x\sqrt{1 + 1} dx = 2π\sqrt{2}·\frac{1}{2} = π\sqrt{2}$

常见错误提醒：

1. 忘记乘以2π

2. 混淆弧长元素与微分dx

3. 半径取值错误（旋转轴决定半径）

学习策略

1. 可视化优先：使用GeoGebra等工具观察旋转体形态

2. 维度分析：检查积分结果的量纲是否合理

3. 对比练习：同一问题尝试不同方法求解

4. 金融应用联想：虽然本节是几何应用，但积分技巧将在概率密度函数、期权定价模型等领域重现

附：练习合集