第9讲常微分方程（Ordinary Differential Equations）

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1. 一阶常微分方程基础

1.1 分离变量法

适用于形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的方程

解法步骤：

分离变量： $\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$

两边积分： $\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C$

例题：

求解 $\frac{dy}{dx} = xy^2$

解：

\begin{align*} \frac{1}{y^2} dy &= x dx \\ \int y^{-2} dy &= \int x dx \\ -y^{-1} &= \frac{1}{2}x^2 + C \\ y &= -\frac{1}{\frac{1}{2}x^2 + C} \end{align*}

学习建议：

特别注意当 $g(y)=0$ 时的特解（奇异解）

积分后注意检查对数函数的定义域

1.2 齐次方程

当方程可表示为 $\frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x})$ 时

解法步骤：

令 $z = \frac{y}{x}$ ，则 $y = xz$

代入方程： $x\frac{dz}{dx} + z = F(z)$

分离变量后积分

例题：

求解 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

解：

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1 + (\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}} \\ 令 z = \frac{y}{x} &\Rightarrow y = xz \\ x\frac{dz}{dx} + z &= \frac{1+z^2}{z} \\ \int \frac{z}{1-z^2} dz &= \int \frac{1}{x} dx \\ -\frac{1}{2}\ln|1-z^2| &= \ln|x| + C \end{align*}

2. 一阶线性微分方程

标准形式： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

2.1 积分因子法

解法步骤：

计算积分因子： $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$

方程两边乘以积分因子

左边转化为全微分形式： $\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$

两边积分求解

例题（复利计算）：

连续复利模型： $\frac{dA}{dt} = rA$

解：

\begin{align*} \mu(t) &= e^{-\int r dt} = e^{-rt} \\ \frac{d}{dt}[e^{-rt}A] &= 0 \\ A(t) &= A_0 e^{rt} \end{align*}

学习建议：

注意识别方程是否线性

积分常数处理要谨慎

3. 金融应用专题

3.1 复利模型扩展

考虑定期存款的连续复利模型：

\frac{dA}{dt} = rA + D

解法：
使用积分因子法，最终解为：

A(t) = \left(A_0 + \frac{D}{r}\right)e^{rt} - \frac{D}{r}

3.2 市场饱和模型

类比人口模型：

\frac{dP}{dt} = rP(M - P)

金融解读：

P代表产品市场渗透率，M为市场最大容量

解：

P(t) = \frac{M}{1 + (\frac{M}{P_0} - 1)e^{-rt}}

4. 重要数学工具

4.1 泰勒展开

金融中的期权定价常用：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

常见函数的泰勒级数展开：

函数	幂级数展开式
$\frac{1}{1-x}$	$\sum_{n=0}^{\infty} x^n（当 \|x\| < 1 时收敛）$
$e^x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} （对所有 x 值收敛）$
$\sin(x)$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} （对所有 x 值收敛）$
$\cos(x)$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} （对所有 x 值收敛）$
$\ln(1+x)$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} （当 \|x\| < 1 时收敛）$

这些幂级数展开在数学和物理中有广泛应用：

函数近似计算：通过取有限项来近似计算函数值

积分求解：将复杂函数展开后逐项积分

微分方程求解：使用幂级数法解微分方程

分析奇点和收敛性：研究函数在特定点附近的行为

物理模型：在量子力学、电磁学等领域用于描述物理现象

4.2 微分方程数值解

欧拉方法：

y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)

应用场景：

当解析解难以求得时，用于利率路径模拟

学习建议：

熟练掌握分离变量和积分因子法

重视微分方程与经济指标的关系

数值解法需要编程实践

套利中的常微分方程

常微分方程（ODE）在金融套利模型中可以描述套利机会随时间的动态变化。一阶常微分方程通常表示为：

\frac{dA}{dt} = f(A, t)

其中：

A(t) 表示套利机会大小

$\frac{dA}{dt}$ 表示套利机会随时间的变化率

f(A, t) 描述了影响变化的因素

套利衰减模型

最简单的套利模型假设套利机会以与其当前规模成比例的速率衰减：

\frac{dA}{dt} = -kA

其中：

k 是正常数，表示市场效率系数

解析解为： $A(t) = A_0 e^{-kt}$

这反映了一个基本市场原则：套利机会被发现后会迅速减少。

套利反馈模型

考虑交易者行为对套利机会的影响：

\frac{dA}{dt} = -kA - \alpha V(t)

其中：

V(t) 表示参与套利的交易量

$\alpha$ 表示交易对套利机会的影响系数

复杂套利动态模型

实际金融市场中，套利机会动态可能更复杂：

\frac{dA}{dt} = -kA + \sigma(t) - \beta A^2

其中：

$\sigma(t)$ 表示市场不平衡创造的新套利机会

$\beta A^2$ 项表示大型套利机会吸引更多交易者导致的非线性衰减

随机微分方程扩展

将随机性引入模型：

dA = (-kA)dt + \sigma dW_t

其中：

$dW_t$ 是维纳过程（布朗运动）

$\sigma$ 是波动率参数

策略应用

1. 最优交易时机

利用微分方程解确定最优交易时机：

V^*(t) = \arg\max_V \int_0^T e^{-rt}[A(t)V(t) - C(V(t))]dt

满足： $\frac{dA}{dt} = -kA - \alpha V(t)$

2. 套利机会半衰期计算

基于指数衰减模型，套利半衰期为：

t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k}

3. 均值回归套利策略

若价格差异遵循 Ornstein-Uhlenbeck 过程：

dA = \theta(\mu - A)dt + \sigma dW_t

其中：

$\theta$ 是回归速度

$\mu$ 是长期均值

实际应用案例

跨市场套利

两个市场间的价格差动态可建模为：

\frac{d\Delta P}{dt} = -k\Delta P + \eta(t)

其中 $\eta(t)$ 代表市场摩擦或信息不对称。

统计套利

配对交易中协整关系的偏离可建模为：

\frac{dZ}{dt} = -\theta Z + \sigma\varepsilon(t)

其中 Z 是标准化价差得分。

求解方法

解析解：适用于简单线性方程

数值方法：如欧拉法、龙格-库塔法，用于复杂非线性方程

相位图分析：识别系统稳定点和行为模式

常微分方程为理解和预测套利机会的时间演化提供了强大框架，帮助交易者开发更精细的策略，把握市场效率过程中的短暂机会。

附：练习合集

练习

第8讲积分应用（Appl. of Integrals）

第10讲公式专项

第9讲 常微分方程（Ordinary Differential Equations）

1. 一阶常微分方程基础

1.1 分离变量法

1.2 齐次方程

2. 一阶线性微分方程

2.1 积分因子法

3. 金融应用专题

3.1 复利模型扩展

3.2 市场饱和模型

4. 重要数学工具

4.1 泰勒展开

4.2 微分方程数值解

套利中的常微分方程

附：练习合集

第9讲常微分方程（Ordinary Differential Equations）