第9讲常微分方程（Ordinary Differential Equations）

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一阶常微分方程基础

分离变量法

适用于形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的方程

解法步骤：

分离变量： $\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$

两边积分： $\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C$

例题：

求解 $\frac{dy}{dx} = xy^2$

解：

\begin{align*} \frac{1}{y^2} dy &= x dx \\ \int y^{-2} dy &= \int x dx \\ -y^{-1} &= \frac{1}{2}x^2 + C \\ y &= -\frac{1}{\frac{1}{2}x^2 + C} \end{align*}

学习建议：

特别注意当 $g(y)=0$ 时的特解（奇异解）

积分后注意检查对数函数的定义域

齐次方程

当方程可表示为 $\frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x})$ 时

解法步骤：

令 $z = \frac{y}{x}$ ，则 $y = xz$

代入方程： $x\frac{dz}{dx} + z = F(z)$

分离变量后积分

例题：

求解 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

解：

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1 + (\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}} \\ 令 z = \frac{y}{x} &\Rightarrow y = xz \\ x\frac{dz}{dx} + z &= \frac{1+z^2}{z} \\ \int \frac{z}{1-z^2} dz &= \int \frac{1}{x} dx \\ -\frac{1}{2}\ln|1-z^2| &= \ln|x| + C \end{align*}

一阶线性微分方程

标准形式： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

积分因子法

解法步骤：

计算积分因子： $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$

方程两边乘以积分因子

左边转化为全微分形式： $\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$

两边积分求解

例题（复利计算）：

连续复利模型： $\frac{dA}{dt} = rA$

解：

\begin{align*} \mu(t) &= e^{-\int r dt} = e^{-rt} \\ \frac{d}{dt}[e^{-rt}A] &= 0 \\ A(t) &= A_0 e^{rt} \end{align*}

学习建议：

注意识别方程是否线性

积分常数处理要谨慎

金融应用专题

复利模型扩展

考虑定期存款的连续复利模型：

\frac{dA}{dt} = rA + D

解法：
使用积分因子法，最终解为：

A(t) = \left(A_0 + \frac{D}{r}\right)e^{rt} - \frac{D}{r}

市场饱和模型

类比人口模型：

\frac{dP}{dt} = rP(M - P)

金融解读：

P代表产品市场渗透率，M为市场最大容量

解：

P(t) = \frac{M}{1 + (\frac{M}{P_0} - 1)e^{-rt}}

重要数学工具

泰勒展开

金融中的期权定价常用：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

微分方程数值解

欧拉方法：

y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)

应用场景：

当解析解难以求得时，用于利率路径模拟

学习建议：

熟练掌握分离变量和积分因子法

重视微分方程与经济指标的关系

数值解法需要编程实践

附：练习合集

练习

第8讲积分应用（Appl. of Integrals）

第10讲公式专项

第9讲 常微分方程（Ordinary Differential Equations）

一阶常微分方程基础

分离变量法

齐次方程

一阶线性微分方程

积分因子法

金融应用专题

复利模型扩展

市场饱和模型

重要数学工具

泰勒展开

微分方程数值解

附：练习合集

第9讲常微分方程（Ordinary Differential Equations）