统计第5讲：区间估计 | Interval Estimation

基础概念

从点估计到区间估计

设独立同分布随机变量$X_1,...,X_n$服从均值为$\mu$、方差为$\sigma^2$的分布：

• 样本均值 (Sample Mean)：

• 样本方差 (Sample Variance)：

• 标准误 (Standard Error, SE)：

点估计通过$\bar{x} \pm SE$给出估计范围，但无法量化置信程度。区间估计通过构建置信区间 (Confidence Interval) 解决这一缺陷。

核心思想

置信区间满足：

其中：

• $L,U$为区间端点

• $1-\alpha$为置信水平 (Confidence Level)

• $\alpha$为显著性水平 (Significance Level)

正态分布下的置信区间

标准正态分位数

设$Z \sim N(0,1)$，定义上尾分位数 (Upper-tail Quantile) $z_p$满足：

特别地：

• $z_{0.5} = 0$（中位数）

• $Pr(-z_p \leq Z \leq z_p) = 1-2p$（对称区间概率）

置信区间构建

当满足以下条件之一时：

1. 总体服从正态分布（任意样本量）

2. 大样本情况（中心极限定理适用）

95%置信区间公式：

具体推导：

常用分位数值

实际应用案例

股票收益率估计

某股票30日收益率数据：

• 样本均值$\bar{x} = 0.8\%$

• 样本标准差$s = 2.5\%$

计算95%置信区间：


$\begin{aligned} SE &= \frac{2.5\%}{\sqrt{30}} \approx 0.456\% \\ CI &= 0.8\% \pm 1.96 \times 0.456\% \\ &= [0.8\% - 0.894\%, 0.8\% + 0.894\%] \\ &= [-0.094\%, 1.694\%] \end{aligned}$

解读：有95%的置信度认为该股票的真实日均收益率在-0.094%到1.694%之间。

学习建议

1. 重点掌握：
   • 置信区间的概率解释（不是参数落在区间的概率）
   • 标准误与标准差的区别

2. 典型错误：
   • 将"95%置信度"理解为"参数有95%概率在区间内"
   • 忽略样本量对区间宽度的影响

3. 实践练习：

   # Python实现置信区间计算示例
   import numpy as np
   from scipy import stats
   
   data = np.random.normal(loc=5, scale=2, size=100)
   confidence = 0.95
   se = stats.sem(data)
   ci = stats.norm.interval(confidence, loc=np.mean(data), scale=se)

附：练习合集