练习

练习题

1. 基础计算

某基金60日收益率数据如下：

• 样本均值 $\bar{x} = 1.2\%$

• 样本标准差 $s = 3.1\%$

• 样本量 $n = 60$

计算该基金日均收益率的99%置信区间。

2. 概念辨析

判断以下说法是否正确，并说明理由：
"我们有95%的把握认为，某股票的真实收益率在[−0.5%, 2.1%]之间。"

3. 样本量影响

现有两个抽样方案：

• 方案A：$n=100$, $s=5\%$

• 方案B：$n=400$, $s=5\%$

当置信水平相同时，哪个方案的置信区间宽度更小？具体相差多少倍？

4. 分位数应用

已知标准正态分布$Z \sim N(0,1)$，求满足$Pr(-z < Z < z) = 0.90$的$z$值。

5. 实际应用

某债券组合10个交易日的收益率数据（单位：bp）：
[12, 15, 9, 18, 11, 14, 13, 10, 16, 12]

计算该组合日均收益率的90%置信区间（保留2位小数）。

参考答案

1. 基础计算

$\begin{aligned} SE &= \frac{3.1\%}{\sqrt{60}} \approx 0.400\% \\ z_{0.005} &= 2.576 \\ CI &= 1.2\% \pm 2.576 \times 0.400\% \\ &= [1.2\% - 1.030\%, 1.2\% + 1.030\%] \\ &= [0.170\%, 2.230\%] \end{aligned}$

2. 概念辨析

错误。正确表述应为："用相同方法重复构建置信区间时，有95%的区间会包含真实收益率"。置信水平反映的是方法可靠性，而非特定区间的概率。

3. 样本量影响

方案B区间更窄。区间宽度与$1/\sqrt{n}$成正比：


$\frac{Width_B}{Width_A} = \frac{1/\sqrt{400}}{1/\sqrt{100}} = \frac{1}{2}$

即方案B的区间宽度是方案A的1/2。

4. 分位数应用

$\begin{aligned} 1-\alpha &= 0.90 \Rightarrow \alpha=0.10 \\ z_{0.05} &= 1.645 \quad (\text{查标准正态分布表}) \end{aligned}$

5. 实际应用

计算步骤：

1. 计算样本均值：
   
   $\bar{x} = \frac{12+15+...+12}{10} = 13.0\ \text{bp}$

2. 样本标准差：
   
   $s = \sqrt{\frac{\sum(x_i-13)^2}{9}} \approx 2.91\ \text{bp}$

3. 标准误：
   
   $SE = \frac{2.91}{\sqrt{10}} \approx 0.92\ \text{bp}$

4. 90%置信区间：
   
   $z_{0.05}=1.645$
   
   $CI = 13.0 \pm 1.645 \times 0.92 = [11.49\ \text{bp}, 14.51\ \text{bp}]$