练习

练习题

题目1（条件概率）

某扑克牌游戏先抽1张牌：

• 如果抽到J/Q/K，再从剩余牌中抽1张红桃

• 否则，直接结束游戏
  已知第一张抽到J的概率是多少？此时第二张抽到红桃的条件概率是多少？
  

题目2（贝叶斯定理）

某疾病患病率为2%，检测：

• 真阳性率98%

• 假阳性率5%
  求检测阳性时实际患病的概率
  

题目3（独立性）

某电路系统有两个并联开关：

• 开关A正常工作的概率0.9

• 开关B正常工作的概率0.8

• 系统正常工作需至少一个开关正常
  判断两个开关故障事件是否独立
  

参考答案

题目1解答

• 第一张抽到J的概率：
  
  
  $P(J) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
  
  

• 条件概率计算：
  
  
  $P(红桃|J) = \frac{13-1}{51} = \frac{12}{51} = \frac{4}{17}$
  
  

题目2解答

应用贝叶斯定理：


$\begin{aligned} P(病|+) &= \frac{0.02 \times 0.98}{0.02 \times 0.98 + 0.98 \times 0.05} \\ &= \frac{0.0196}{0.0196 + 0.049} \approx 28.57\% \end{aligned}$

题目3解答

定义事件：

• $A^c$: 开关A故障，$P(A^c)=0.1$

• $B^c$: 开关B故障，$P(B^c)=0.2$

系统故障概率：


$P(A^c \cap B^c) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$

独立验证：


$P(A^c)P(B^c) = 0.02 = P(A^c \cap B^c)$

→ 故障事件独立