概率第3讲：条件概率与独立性 | Conditional Probability and Independence

1. 条件概率 | Conditional Probability

基本定义

对任意事件E和F（要求$P(F) > 0$），条件概率定义为：

几何解释：将样本空间限制在事件F发生后的子空间，重新计算事件E的概率。

例（瓮问题）：
两个瓮中，1号瓮有2白球3黑球，2号瓮有1白球4黑球。随机选择一个瓮后取球：

• 选择1号瓮的概率 $P(U_1) = \frac{1}{2}$

• 从1号瓮取白球的条件概率 $P(W|U_1) = \frac{2}{5}$

乘法规则 | Multiplication Rule

对任意事件序列$E_1, E_2,...,E_n$：

应用案例：
一副扑克牌连续不放回抽取3张A的概率：

2. 全概率与贝叶斯定理 | Total Probability & Bayes' Theorem

全概率公式

设$F_1,...,F_n$构成样本空间的分割（即互斥且并集为全集），则：

树状图分析：

开始
/ \

$F₁(0.3)$ $F₂(0.7)$
/ \

$P(E|F₁)=0.8$ $P(E|F₂)=0.4$

总概率计算：

贝叶斯定理 | Bayes' Theorem

疾病检测案例：

• 疾病患病率 $P(D) = 0.01$

• 检测准确率：$P(+|D) = 0.95$，$P(+|¬D) = 0.05$

• 阳性时真患病的概率：

3. 独立事件 | Independent Events

独立性定义

两个事件独立当且仅当：

等价于（当$P(F) > 0$时）：

独立性性质

1. 互补独立性：若E与F独立，则E与$F^c$也独立

2. 三事件独立：需同时满足：

3. 注意误区：两两独立 ≠ 相互独立

典型案例：
连续掷两次公平骰子：

• 事件A：第一次掷出3 → $P(A) = \frac{1}{6}$

• 事件B：第二次掷出5 → $P(B) = \frac{1}{6}$

• 事件C：两次点数之和为8 → $P(C) = \frac{5}{36}$

此时A与B独立，但A与C不独立。

学习建议

1. 可视化工具：多用树状图分析条件概率问题

2. 贝叶斯直觉：理解"逆概率"的思维模式，区分先验概率与后验概率

3. 独立性验证：遇到概率问题时先问"这些事件是否有因果关系？"

4. 典型错误：避免将独立事件与互斥事件混淆：
   • 互斥事件 ⇒ $P(EF) = 0$
   • 独立事件 ⇒ $P(EF) = P(E)P(F)$
     → 只有当至少一个事件概率为0时，两者才可能共存
     

练习题推荐：

1. 三局两胜制比赛中，计算选手获胜概率（使用树状图法）

2. 蒙提霍尔问题（三门问题）的概率分析

3. 生日悖论中的独立性分析

附：练习合集