第10讲 重点回顾

矩阵与基本运算

矩阵定义（Matrix Definition）

矩阵是矩形排列的数表，记作 $A = (a_{ij})_{m×n}$。当 $m=n=1$ 时，矩阵退化为标量。

• 符号说明：$R^{m×n}$ 表示所有 $m×n$ 实矩阵的集合

• 特殊矩阵：
  • 零矩阵 $O_{m×n}$：所有元素为 0
  • 单位矩阵 $I_n$：主对角线为 1，其余为 0

矩阵运算

加法与标量乘法

例：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \\ A+B = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}, \quad 2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

矩阵乘法

关键点：

• 仅当左矩阵列数 = 右矩阵行数时可乘

• 不满足交换律：$AB \neq BA$ 一般情况下

例：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \\ AB = \begin{pmatrix} 1×5+2×7 & 1×6+2×8 \\ 3×5+4×7 & 3×6+4×8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

行列式与逆矩阵

行列式（Determinant）

定义

对 $n×n$ 矩阵 $A$，删去第 $i$ 行第 $j$ 列得子矩阵 $M_{ij}$，则：

重要性质

例（2×2矩阵）：

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

逆矩阵（Inverse Matrix）

存在条件

矩阵 $A$ 可逆 当且仅当 $\det(A) \neq 0$，此时：

其中伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 由余因子矩阵转置得到

计算方法：

1. 初等行变换法：$(A|I) \rightarrow (I|A^{-1})$

2. 分块矩阵求逆（对对角分块矩阵特别有效）

例（2×2矩阵）：

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

矩阵的秩与向量空间

秩（Rank）的定义

矩阵 $A$ 的秩是其行空间或列空间的维度，记作 $\text{rank}(A)$

重要性质

• $\text{rank}(A) \leq \min\{m,n\}$

• $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ （秩-零化度定理）

• 分块矩阵秩的性质：

向量空间基础

线性相关性

向量组 $\{\mathbf{v}_1, ..., \mathbf{v}_k\}$ 线性无关当且仅当方程：

仅有零解 $c_1=...=c_k=0$

基底与维度

基底需满足：

1. 线性无关

2. 张成整个空间

例：

$\mathbb{R}^3$ 的标准基底为 $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

特征值与对角化

特征值（Eigenvalue）定义

满足 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ 的标量 $\lambda$ 和非零向量 $\mathbf{x}$

特征方程

特征值的代数重数 ≥ 几何重数

例：

对矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，特征方程为：

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda=1,3$

对角化条件

矩阵 $A$ 可对角化当且仅当：

• 每个特征值的代数重数 = 几何重数

• 有 $n$ 个线性无关的特征向量

应用：

简化矩阵幂运算

学习建议

1. 从具体到抽象：先用 2×2 矩阵理解概念，再推广到高阶

2. 可视化工具：使用矩阵计算器验证结果（如 Wolfram Alpha）

3. 重点练习：
   • 矩阵乘法与行列式计算
   • 求逆矩阵的两种方法
   • 特征值求解与对角化判断

例题精解：

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量

步骤：

1. 解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$

2. 对每个特征值求对应的特征空间基

3. 验证特征向量线性无关性

附：练习合集