练习

题目部分

矩阵运算

已知矩阵：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

计算：

(a) $AB$ 与 $BA$

(b) $A^T B$

行列式计算

计算分块矩阵的行列式：

$\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

逆矩阵

用伴随矩阵法求矩阵的逆：

$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

矩阵的秩

证明：

$\text{rank}\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} \geq \text{rank}(A) + \text{rank}(C)$

其中 $A,C$ 为方阵

特征值问题

求矩阵的特征值与对应特征向量：

$D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

参考答案

矩阵运算

(a)

$AB = \begin{pmatrix} 1×4+3×2 & 1×1+3×(-1) \\ -2×4+0×2 & -2×1+0×(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -2 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 4×1+1×(-2) & 4×3+1×0 \\ 2×1+(-1)×(-2) & 2×3+(-1)×0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

(b)

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$A^T B = \begin{pmatrix} 1×4+(-2)×2 & 1×1+(-2)×(-1) \\ 3×4+0×2 & 3×1+0×(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 12 & 3 \end{pmatrix}$

行列式计算

利用分块矩阵性质：

$\det \begin{pmatrix} P & Q \\ 0 & R \end{pmatrix} = \det(P) \cdot \det(R)$

其中：

$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

计算：

$\det(P) = 2×3 - 0×1 = 6$

$\det(R) = 4×3 - 1×(-2) = 14$

∴ 原行列式 = $6 × 14 = 84$

逆矩阵

步骤：

1. 计算行列式：

   $\det(C) = 2×4 - 1×3 = 5$

2. 求余因子矩阵：

   $\text{adj}(C) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

3. 得逆矩阵：

   $C^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

矩阵的秩

证明思路：

设 $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$ 中存在：

• $\text{rank}(A)$ 个线性无关的行向量来自左上块

• $\text{rank}(C)$ 个线性无关的行向量来自右下块
  由于右下块的
  $0$ 元素保证了这两部分向量的线性无关性，因此总秩至少为 $\text{rank}(A) + \text{rank}(C)$

特征值问题

步骤：

1. 特征方程：

   $\det(\lambda I - D) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda=1,4$

2. 特征向量：
   • $\lambda=1$：解 $(I - D)\mathbf{x}=0$
     
     $\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{x} = k\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$
   • $\lambda=4$：解 $(4I - D)\mathbf{x}=0$
     
     $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{x} = k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$