第1讲 线性方程组和高斯消元法（Linear Systems and Gaussian Elimination）

1. 线性代数基础

1.1 线性方程组的历史发展

线性方程组（Linear Systems）的研究可追溯至：

• 公元前200年：《九章算术》首次记载三元一次方程组的解法

• 1693年：莱布尼茨（Leibniz）提出行列式（Determinant）概念

• 1750年：克拉默（Cramer）提出克拉默法则（Cramer's Rule）

• 1800年：高斯（Gauss）系统化提出高斯消元法（Gaussian Elimination）

1.2 几何视角下的线性方程组

关键观察：方程组的解对应几何对象的交集（如直线的交点、平面的交线等）。

2. 矩阵的行阶梯形

2.1 行阶梯形（Row-Echelon Form, REF）

定义：矩阵满足：

1. 全零行位于底部

2. 非零行的首个非零元素（主元）严格右移

示例：

2.2 简化行阶梯形（Reduced REF, RREF）

额外要求：

3. 主元为1

4. 主元所在列其他元素为0

示例：

3. 高斯消元法

3.1 基本行操作（Elementary Row Operations）

1. 倍乘：某行乘以非零常数

2. 交换：两行位置互换

3. 线性组合：将某行的倍数加到另一行

定理：行操作不改变方程组的解集。

3.2 算法步骤

高斯消元（求REF）：

1. 定位最左非零列

2. 通过行交换确保主元非零

3. 用主元消去下方元素

4. 递归处理子矩阵

高斯-若尔当消元（求RREF）：

5. 将主元标准化为1

6. 用主元消去上方元素

4. 应用示例

4.1 交通流量问题

问题描述：

某交叉路口每小时车流量满足平衡条件，建立方程组：

解法：

1. 构建增广矩阵并执行行操作

2. 当$x_4=500$时，解得$x_1=560, x_2=230, x_3=500$

4.2 参数化方程组

问题：分析含参数$a$的方程组解的情况：

解法：

• $a=0$：无解

• $a>0$：唯一解

• $a<0$：无穷多解

5. 学习建议

1. 可视化理解：用几何图形辅助理解方程组的解集

2. 分步练习：
   • 从2×2方程组开始练习手动消元
   • 逐步过渡到3×3及含参数情形

3. 软件辅助：使用MATLAB/Python验证计算结果

关键定理总结：

• 方程组无解 ⇨ REF中最后一列为主元列

• 唯一解 ⇨ 非主元列数 = 未知数个数

• 无穷解 ⇨ 非主元列数 < 未知数个数

附：练习合集