练习

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习题 1：基础消元

题目：用高斯消元法求解方程组：

$\begin{cases} 2x + y - z = 7 \\ 3x - 2y + 2z = 0 \\ x + y + z = 6 \end{cases}$

习题 2：参数化方程组

题目：讨论参数 $( k )$ 对解的影响：

$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + ky + 3z = 3 \\ kx + 4y + (k+1)z = 5 \end{cases}$

指出当
$k$ 为何值时，方程组存在：(a) 唯一解 (b) 无解 (c) 无穷多解

习题 3：几何解释

题目：在三维空间中，两个平面方程为：

$\begin{cases} 2x - y + 3z = 4 \\ 4x + ky - 6z = 8 \end{cases}$

求
$k$ 值使得两平面：(i) 相交于直线 (ii) 平行不重合 (iii) 完全重合

习题 4：应用建模

题目：某化工反应遵循质量守恒：

$\begin{cases} C_3H_8 + O_2 \rightarrow CO_2 + H_2O \\ \text{碳原子平衡方程} \\ \text{氢原子平衡方程} \\ \text{氧原子平衡方程} \end{cases}$

建立线性方程组并求解各物质的化学计量系数。

习题 5：矩阵变换

题目：将以下增广矩阵化为 RREF：

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 9 \\ 2 & -4 & 6 & 18 \\ -1 & 2 & -1 & -5 \end{pmatrix}$

参考答案

习题 1 答案

解：通过行变换得到 RREF：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

唯一解： $( x=2, y=3, z=1 )$

习题 2 答案

关键步骤：

当 $( k \neq 2 )$ 时，方程组有唯一解

当 $( k = 2 )$ 时：
- 增广矩阵秩 > 系数矩阵秩 ⇒ 无解
- 特别地，当 $( k=2 )$ 时第三方程出现矛盾 $( 0=2 )$

结论：
(a)
$( k \neq 2 )$
(b)
$( k = 2 )$
(c) 不存在使系统有无穷解的情况

习题 3 答案

分析：
(i) 当
$( k \neq -2 )$ 时法向量不共线 ⇒ 相交于直线

(ii) $( k = -2 )$ 且常数项不成比例 ⇒ 平行

(iii) $( k = -2 )$ 且方程成比例 ⇒ 重合

数值解：

(i) $( k \neq -2 )$

(ii) $( k = -2 )$ 且检查常数项比例

(iii) 无解（因常数项比例固定为 2:1）

习题 4 答案

建模：
设反应式为
$( aC_3H_8 + bO_2 \rightarrow cCO_2 + dH_2O )$
得到方程组：

$\begin{cases} 3a = c \quad (\text{碳平衡}) \\ 8a = 2d \quad (\text{氢平衡}) \\ 2b = 2c + d \quad (\text{氧平衡}) \end{cases}$

解：令 ) a=1 ) 得 ) c=3, d=4, b=5 )，即：

$C_3H_8 + 5O_2 \rightarrow 3CO_2 + 4H_2O$

习题 5 答案

行变换过程：

$( R2 \leftarrow R2-2R1 )$

$( R3 \leftarrow R3+R1 )$

$( R3 \leftarrow R3-\frac{1}{2}R2 )$

最终 RREF：

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

解： $（ x = 3 + 2t ), ( y = t ), ( z = 2 )（( t ) 为任意参数）$