NUS - 微积分速查表

01. 微分法 (Differentiation)

泰勒展开

• 泰勒定理：

  f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n! + Rₙ
  Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)! （c在x与a之间）

• 泰勒级数：当 Rₙ→0 时，

  f(x) = Σ_{n=0}^∞ [f⁽ⁿ⁾(a)/n!] (x−a)ⁿ

导数公式表

对数微分法

• 乘积型函数：y = Π fᵢ(x) → ln|y| = Σ ln|fᵢ(x)|

  dy/dx = y · Σ [fᵢ'(x)/fᵢ(x)]
  

• 幂指函数：y = f(x)^{g(x)} → ln y = g(x) ln f(x)

  dy/dx = y · [g'(x) ln f(x) + g(x) f'(x)/f(x)]
  

02. 积分法 (Integration)

基本积分表

积分技巧

• 部分分式分解：
  • 线性因子 (x+a)^k：分解为 A₁/(x+a) + A₂/(x+a)² + ...
  • 二次因子 (x²+bx+c)^r：分解为 (B₁x+C₁)/(x²+bx+c) + ...

• 三角换元：
  • √(a²−x²) → 令 x = a sinθ
  • √(x²+a²) → 令 x = a tanθ
  • √(x²−a²) → 令 x = a secθ

• 万能三角代换：
  • t = tan(x/2) ⇒ sinx = 2t/(1+t²), cosx = (1−t²)/(1+t²)

03. 级数 (Series)

麦克劳林展开

04. 杂项公式 (Miscellaneous)

指数函数性质

• aᵘaᵛ = aᵘ⁺ᵛ

• (aᵘ)ᵛ = aᵘᵛ

• d/dx aˣ = aˣ ln a

不等式与定理

• 三角不等式：|a+b| ≤ |a| + |b|

• 二项式定理：

  (a+b)^n = Σ_{k=0}^n C(n,k) a^{n−k} b^k

因式分解

• a³ ± b³ = (a±b)(a² ∓ ab + b²)

• aⁿ − bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + ... + bⁿ⁻¹)

三角恒等式

• tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2

• ∀x∈(0,π/2), sinx < x < tanx

此大纲聚焦高频易忘公式，按应用场景分类，助你快速定位核心知识点。