Formulae and Identities

数学公式与恒等式大纲

1. 初等代数

1.1 坐标几何

• 直线方程

• 圆、抛物线、椭圆、双曲线的方程
  1.2 对数与指数
  

• 指数运算性质

• 对数运算性质
  1.3 二项式展开
  

• 组合数公式

• 二项式定理

• 帕斯卡三角形

• 常用多项式因式分解

2. 三角函数

2.1 常见值与单位圆

2.2 毕达哥拉斯恒等式

2.3 双角公式

2.4 和差公式

2.5 和化积公式

2.6 积化和公式

2.7 正弦定理与余弦定理

2.8 反三角函数

2.9 复数平面中的三角函数

• 欧拉公式

• 棣莫弗公式

• 三角函数与双曲函数的关系
  2.10 双曲函数恒等式
  2.11 反双曲函数
  

3. 向量代数

3.1 标量积（点积）

3.2 向量积（叉积）

3.3 三重积

3.4 直线、平面和球面的方程

4. 极限

4.1 极限的严格定义（ε-δ 定义）

4.2 常见极限

4.3 洛必达法则

5. 数列与级数

5.1 求和公式

5.2 几何级数

5.3 幂级数

5.4 级数收敛性检验

5.5 常见幂级数展开

• 指数函数、正弦、余弦的泰勒展开

6. 微分学

6.1 导数的形式化定义

6.2 导数规则与性质

• 线性性、乘积法则、商法则、链式法则

• 莱布尼茨定理（高阶导数）
  6.3 常见导数表
  6.4 中值定理
  6.5 导数的应用
  

• 曲线切线

• 曲线分析（单调性、凹凸性、极值点）

• 泰勒多项式
  6.6 偏导数
  

7. 积分学

7.1 微积分基本定理

7.2 常见积分表

8. 拉普拉斯变换与傅里叶变换

8.1 拉普拉斯变换定义

8.2 常见拉普拉斯变换表

附图表

• 单位圆（含三角函数值）

• 三角形与正弦/余弦定理图示

• 向量加法图示

• 极限的几何解释