练习

练习题

基础题

1. 伯努利分布

   某数字货币单日上涨概率为0.55，定义$X$为上涨天数指示变量：
   
   $X = \begin{cases} 1 & \text{上涨} \\ 0 & \text{下跌} \end{cases}$

   求$E(X)$和$\text{Var}(X)$

2. 二项分布

   某期权交易员成功预测方向的概率为0.6。连续进行5次预测：

• (a) 恰好3次正确的概率

• (b) 至少4次正确的概率

1. 几何分布
   区块链挖矿成功的概率为0.15：
   

• (a) 首次在第5次尝试成功的概率

• (b) 期望需要多少次尝试

1. 泊松分布
   某交易系统平均每小时产生2.5次错误：
   

• (a) 一小时内无错误的概率

• (b) 三小时内至少5次错误的概率

应用题

1. 投资组合风险
   某基金包含50支股票，每支股票年暴雷概率1.2%（独立）。使用泊松近似计算：
   

• (a) 恰好1支暴雷的概率

• (b) 至少2支暴雷的概率

1. 高频交易
   某订单流服从泊松过程（λ=120单/分钟）：
   

• (a) 10秒内无订单的概率

• (b) 出现第100单的期望时间（秒）

综合题

1. 期权定价
   某期权价值
   $V = \max(S_T - K, 0)$，假设$S_T$服从参数为(50,0.3)的对数正态分布，K=55：

• (a) 写出期望价值表达式

• (b) 若波动率增加对概率分布的影响

1. 风险价值(VaR)
   某资产日收益率
   $r \sim N(0.001, 0.022^2)$，计算：

• (a) 95% VaR（单日最大损失）

• (b) 当持有期为10天时的VaR调整

参考答案

1. 伯努利分布

   $E(X) = 0.55$

   $\text{Var}(X) = 0.55 \times 0.45 = 0.2475$

2. 二项分布

   (a) $\binom{5}{3}0.6^30.4^2 = 0.3456$

   (b) $\sum_{k=4}^5 \binom{5}{k}0.6^k0.4^{5-k} = 0.3370$

3. 几何分布

   (a) $(1-0.15)^4 \times 0.15 = 0.0783$

   (b) $E(X) = 1/0.15 ≈ 6.67$次

4. 泊松分布

   (a) $e^{-2.5} ≈ 0.0821$

   (b) $\lambda=7.5$, $1 - \sum_{k=0}^4 e^{-7.5}\frac{7.5^k}{k!} ≈ 0.867$

5. 投资组合风险

   $\lambda=50 \times 0.012=0.6$

   (a) $e^{-0.6}0.6 ≈ 0.329$

   (b) $1 - e^{-0.6}(1+0.6) ≈ 0.122$

6. 高频交易

   (a) $\lambda=120/6=20$, $e^{-20}≈2.06 \times 10^{-9}$

   (b) $E(T_{100}) = 100/120 \times 60 = 50$秒

7. 期权定价

   (a) $E[V] = e^{μ + \frac{σ^2}{2}}Φ(d_1) - KΦ(d_2)$

   (b) 波动率增加会拉宽分布尾部，增加期权价值

8. 风险价值

   (a) $VaR_{0.95} = -(0.001 - 1.645 \times 0.022) ≈ 3.58\%$

   (b) $VaR_{10D} = \sqrt{10} \times VaR_{1D} ≈ 11.32\%$

建议：完成练习后对照答案时，重点关注：

1. 概率模型的建立过程

2. 分布参数的实际意义

3. 金融场景中的条件假设合理性

4. 连续复利计算与离散计算的差异