练习

一、基础计算题

1. （有界性验证）

   设随机变量 $X$ 的概率分布为：

   x	2	3	5
   $P(X=x)$	0.4	0.3	0.3
   (1) 验证 $E(X)$ 是否满足 $2 \leq E(X) \leq 5$
   (2) 若定义 $Y = 2X + 1$，求 $E(Y)$

2. （线性性应用）

   已知 $E(X) = 3$，$E(Y) = -1$，求：
   (1)
   $E(2X - 3Y + 5)$

   (2) $E(X + \frac{Y}{2})$

3. （样本均值）

   某灯泡寿命服从期望为 1200 小时的指数分布。现随机抽取 50 只灯泡：
   (1) 求这50只灯泡平均寿命的期望
   

   (2) 若每只灯泡成本为 $100 + 0.1X$ 元（$X$ 为寿命），求单只灯泡成本的期望

二、综合应用题

1. （投资组合）

   某投资者持有两种资产：

   • 资产A：预期收益率 $E(R_A) = 8\%$
   • 资产B：预期收益率 $E(R_B) = 12\%$

   投资组合为 $W = 0.6R_A + 0.4R_B$，求：
   (1) 组合预期收益率
   $E(W)$

   (2) 若新组合 $V = W - 0.05$（扣除管理费），求 $E(V)$

2. （游戏策略选择）

   某游戏有两种策略：

   • 策略一：确定获得 $50 元
   • 策略二：随机获得 $X$ 元，$P(X=0)=0.3$, $P(X=100)=0.7$

   用期望理论说明哪个策略更优

三、证明题

1. 证明：对于任意常数 $a,b$ 和随机变量 $X,Y$，有：
   
   $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$

2. 设 $X \geq Y$ 几乎必然成立，且 $E(Y)$ 存在，证明 $E(X) \geq E(Y)$

参考答案

一、基础计算题

1. (1) $E(X) = 2×0.4 + 3×0.3 + 5×0.3 = 3.2$，满足 $2 \leq 3.2 \leq 5$

   (2) $E(Y) = 2E(X)+1 = 7.4$

2. (1) $2×3 - 3×(-1) + 5 = 14$

   (2) $3 + (-1)/2 = 2.5$

3. (1) $E(\bar{X}) = 1200$ 小时

   (2) $E(100 + 0.1X) = 100 + 0.1×1200 = 220$ 元

二、综合应用题

1. (1) $0.6×8\% + 0.4×12\% = 9.6\%$

   (2) $E(V) = 9.6\% - 5\% = 4.6\%$

2. 策略一期望：50元

   策略二期望：0×0.3 + 100×0.7 = 70元

   策略二更优

三、证明题

1. 由线性性：

   $E(aX + bY) = E(aX) + E(bY) = aE(X) + bE(Y)$

2. 令 $Z = X - Y \geq 0$，则 $E(Z) \geq 0$

   $\Rightarrow E(X) - E(Y) \geq 0 \Rightarrow E(X) \geq E(Y)$