练习

练习题集

题目1：基础计算

某基金过去20个交易日的收益率数据如下（单位：%）：
1.2, 0.8, -0.5, 2.1, 1.5, 0.3, -0.2, 1.8, 0.9, 1.1,

0.7, 1.3, -0.4, 1.6, 0.2, 1.9, 0.5, 1.0, 0.6, 1.4

(1) 计算样本均值

(2) 计算样本标准差

(3) 求标准误的估计值

题目2：无偏性证明

设总体方差的两个估计量：


$\hat{\sigma}1^2 = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \\ \hat{\sigma}2^2 = \frac{1}{n+1}\sum{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$

证明其中哪个是总体方差的无偏估计量

题目3：比例估计

某银行要估计客户满意率，随机抽取300位客户中有213人表示满意：
(1) 计算满意率的点估计值

(2) 估计标准误

(3) 构建95%置信区间

题目4：有限总体修正

某交易所共有1000家上市公司，审计人员抽取80家公司进行财务检查：
(1) 若样本平均ROE为12%，样本标准差为4%，计算修正后的标准误

(2) 解释修正因子在此场景中的实际意义

题目5：高斯模型应用

假设某股票收益率服从$N(\mu, 0.5^2)$分布，观察50个交易日的平均收益率为1.2%：
(1) 计算
$\mu$的估计标准误

(2) 求收益率均值超过1%的概率

参考答案

题目1解答

(1) $\overline{x} = \frac{1}{20}\sum x_i = 0.89\%$

(2) $s = \sqrt{\frac{\sum(x_i-0.89)^2}{19}} \approx 1.02\%$

(3) $\widehat{SE} = \frac{1.02}{\sqrt{20}} \approx 0.228\%$

题目2证明

展开期望运算：


$E(\hat{\sigma}_1^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 \quad (\text{有偏}) \\ E(\hat{\sigma}_2^2) = \frac{n-1}{n+1}\sigma^2 \quad (\text{仍为有偏}) \\ \text{仅有} S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline{X})^2 \text{是无偏的}$

题目3解答

(1) $\hat{p} = 213/300 = 0.71$

(2) $SE \approx \sqrt{\frac{0.71×0.29}{300}} \approx 0.026$

(3) $0.71 \pm 1.96×0.026 = (0.659, 0.761)$

题目4解答

(1) 修正因子 = $\sqrt{\frac{1000-80}{1000-1}} \approx 0.96$

修正标准误 = $0.96 × \frac{4\%}{\sqrt{80}} \approx 0.43\%$

(2) 说明当抽样比例>5%时，需考虑有限总体对估计精度的影响

题目5解答

(1) $SE = \frac{0.5}{\sqrt{50}} \approx 0.0707\%$

(2) $Z = \frac{1.2-1}{0.0707} \approx 2.83$

查标准正态分布表得$P(Z>2.83) \approx 0.23\%$