练习

练习题

1. 指数分布

   设样本 $X_1,...,X_n$ 来自指数分布 $Exp(\lambda)$，其概率密度函数为：
   
   $f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x > 0)$

   使用矩估计法求参数 $\lambda$ 的估计量。

2. 均匀分布

   设样本 $X_1,...,X_n$ 来自均匀分布 $U(a,b)$，其概率密度函数为：
   
   $f(x|a,b) = \frac{1}{b-a} \quad (a \leq x \leq b)$
   (a) 建立矩估计方程组
   

   (b) 推导参数 $a,b$ 的矩估计表达式

3. 二项分布

   设样本 $X_1,...,X_n$ 来自二项分布 $Bin(m,p)$（已知试验次数 $m$），其概率质量函数为：
   
   $f(x|p) = \binom{m}{x}p^x(1-p)^{m-x} \quad (x=0,1,...,m)$

   求参数 $p$ 的矩估计量。

答案与解析

1. 指数分布解析

已知条件：

• 一阶矩：$E(X) = \frac{1}{\lambda}$

• 二阶矩：$E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$

矩估计步骤：

1. 建立方程（使用一阶矩）：
   
   $\frac{1}{\lambda} = \bar{X}$

2. 解得：
   
   $\hat{\lambda}_{MOM} = \frac{1}{\bar{X}}$

注：也可用二阶矩联合求解，但一阶矩已足够确定参数

2. 均匀分布解析

(a) 建立方程组

均匀分布的矩特性：

• 一阶矩：$E(X) = \frac{a+b}{2}$

• 二阶矩：$E(X^2) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$

建立矩估计方程：


$\begin{cases} \frac{a+b}{2} = \bar{X} \\ \frac{a^2 + ab + b^2}{3} = \frac{1}{n}\sum X_i^2 \end{cases}$

(b) 参数求解

令样本二阶矩 $M_2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2$，联立方程：

1. 由第一式得 $b = 2\bar{X} - a$

2. 代入第二式：
   
   
   $\frac{a^2 + a(2\bar{X}-a) + (2\bar{X}-a)^2}{3} = M_2$
   
   化简得：
   
   
   $\hat{a} = \bar{X} - \sqrt{3(M_2 - \bar{X}^2)} \\ \hat{b} = \bar{X} + \sqrt{3(M_2 - \bar{X}^2)}$
   
   

3. 二项分布解析

矩特性：

• 一阶矩：$E(X) = mp$

矩估计过程：

1. 建立方程：
   
   $mp = \bar{X}$

2. 解得：
   
   $\hat{p}_{MOM} = \frac{\bar{X}}{m}$

验证：当 $m=1$ 时退化为伯努利分布的矩估计结果